Resolva as equações abaixo em \mathbb{R} :
\left|x^{2}-4\right|=0

Passo 1

O enunciado dá a equação em \mathbb{R}:
\left|x^{2}-4\right|=0.
O que se pede: encontrar todos os números reais x que satisfazem essa igualdade. Lista de informações relevantes:
  • A expressão dentro do valor absoluto é x^{2}-4.
  • O resultado do valor absoluto é 0.

Passo 2

Entender o que significa \left|A\right|=0\) para um número real \(A\). Definição e propriedade importante: - Por definição, para qualquer \(A\in\mathbb{R}\), \[|A| = \begin{cases} A, & \text{se } A\ge 0,\\[4pt] -A, & \text{se } A<0. \end{cases}
  • Logo, |A|\ge 0\] sempre, e \(|A|=0 ocorre somente quando A=0. Em outras palavras, |A|=0 \quad\Longleftrightarrow\quad A=0.
Essa propriedade nos permite eliminar o valor absoluto transformando a equação em uma equação sem módulo.]

Passo 3

Aplicando a propriedade ao nosso caso: tomar A = x^{2}-4. Assim
\left|x^{2}-4\right|=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}-4=0.
Agora reduzimos o problema a resolver a equação quadrática x^{2}-4=0.

Passo 4

Resolver x^{2}-4=0. Observação importante (identidade de diferença de quadrados):
  • Para quaisquer a,b, a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aqui a=x e b=2, então
x^{2}-4 = x^{2}-2^{2} = (x-2)(x+2).
A equação fica
(x-2)(x+2)=0.
Pela propriedade do produto nulo, um produto é zero se e somente se um dos fatores é zero. Portanto as possibilidades são:
  • x-2=0 que implica x=2,
  • x+2=0 que implica x=-2.

Passo 5

Verificação rápida (sempre faça isso na prova para não cair em armadilhas):
  • Para x=2: x^{2}-4 = 2^{2}-4 = 4-4 = 0. Então \left|x^{2}-4\right| = |0| = 0, satisfaz a equação.
  • Para x=-2: x^{2}-4 = (-2)^{2}-4 = 4-4 = 0. Então \left|x^{2}-4\right| = |0| = 0, também satisfaz.
    Ambas as soluções são reais e válidas.

Resposta

-2
2

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