Resolva as inequações e apresente seus resultados usando a notação de intervalos.
Passo 1
Vamos resolver a inequação $ x^{2} + 5x > x - 5 $. Estamos trabalhando com inequações do segundo grau, que envolvem termos quadráticos. Para resolver esse tipo de inequação, precisamos isolar os termos em um lado da desigualdade e encontrar os valores de $ x $ que satisfazem a condição. Vamos usar técnicas de fatoração e análise de sinais para determinar os intervalos onde a inequação é verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos trazer todos os termos para o lado esquerdo da inequação para simplificar:
Passo 3
Simplificando os termos semelhantes:
Passo 4
Agora, temos uma inequação quadrática na forma $ ax^{2} + bx + c > 0 $. Para resolver, precisamos encontrar as raízes da equação quadrática $ x^{2} + 4x + 5 = 0 $.
Passo 5
Calculamos o discriminante $ \Delta $ da equação quadrática:
Passo 6
Como o discriminante $ \Delta $ é negativo ($ \Delta = -4 $), a equação quadrática não possui raízes reais. Isso significa que o gráfico da função $ f(x) = x^{2} + 4x + 5 $ não intercepta o eixo $ x $.
Passo 7
Como o coeficiente de $ x^{2} $ é positivo ($ a = 1 > 0 $), a parábola está voltada para cima. Portanto, a função $ f(x) = x^{2} + 4x + 5 $ é sempre positiva para todos os valores reais de $ x $.
Passo 8
Como a expressão quadrática é sempre positiva, a inequação $ x^{2} + 4x + 5 > 0 $ é verdadeira para todo $ x $ pertencente aos números reais.
Resposta
A solução da inequação é $ \boxed{,\mathbb{R},} $, ou seja, todos os números reais satisfazem a condição.