Resolva as inequações e apresente seus resultados usando a notação de intervalos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a inequação
. Aqui, estamos trabalhando com inequações racionais, que envolvem frações com polinômios no numerador e denominador. Para resolver isso, a gente vai precisar analisar quando a fração é positiva e quando ela está abaixo ou igual a 2. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte
. Isso significa que a fração precisa ser maior que zero. Para uma fração ser positiva, o numerador e o denominador devem ter o mesmo sinal.
-
Numerador positivo e denominador positivo:
Então, quando, ambos são positivos. -
Numerador negativo e denominador negativo:
Então, quando, ambos são negativos.
Portanto, a primeira parte da inequação é satisfeita para:
Passo 3
Agora, vamos resolver a parte
. Subtraímos 2 de ambos os lados para facilitar:
Simplificando:
Vamos identificar os pontos críticos onde o numerador ou denominador é zero:
- Numerador:
- Denominador:
Agora, vamos analisar os intervalos determinados por esses pontos:
-
Para
:
Numerador positivo ()
Denominador negativo ()
Resultado: Negativo -
Para
:
Numerador negativo ()
Denominador negativo ()
Resultado: Positivo -
Para
:
Numerador negativo ()
Denominador positivo ()
Resultado: Negativo
Como queremos
, os intervalos que satisfazem são onde a expressão é negativa ou igual a zero:
Passo 4
Agora, precisamos combinar as duas partes que resolvemos:
-
Primeira parte:
-
Segunda parte:
Vamos encontrar a interseção desses intervalos, ou seja, os valores de
que satisfazem ambas as condições:
-
Para
:
A segunda parte diz que. Então, dentro desse intervalo, apenas satisfaz ambas as condições. -
Para
:
A segunda parte também permite, e claramente já está incluso aqui.
Portanto, a solução final é:
Resposta
A solução da inequação é:
Em notação de intervalos:
$$
(-\infty,, \frac{1}{3}] \cup (1,, +\infty)
$$