Resolva as inequações e apresente seus resultados usando a notação de intervalos.
0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação 0 < x-12x-1 <= 2. Aqui, estamos trabalhando com inequações racionais, que envolvem frações com polinômios no numerador e denominador. Para resolver isso, a gente vai precisar analisar quando a fração é positiva e quando ela está abaixo ou igual a 2. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte 0 < x-12x-1. Isso significa que a fração precisa ser maior que zero. Para uma fração ser positiva, o numerador e o denominador devem ter o mesmo sinal.
  • Numerador positivo e denominador positivo:
    x - 1 > 0 Rightarrow x > 1
    2x - 1 > 0 Rightarrow x > 12
    Então, quando x > 1, ambos são positivos.
  • Numerador negativo e denominador negativo:
    x - 1 < 0 Rightarrow x < 1
    2x - 1 < 0 Rightarrow x < 12
    Então, quando x < 12, ambos são negativos.
Portanto, a primeira parte da inequação é satisfeita para:
x < 12 ou x > 1

Passo 3

Agora, vamos resolver a parte x-12x-1 <= 2. Subtraímos 2 de ambos os lados para facilitar:
x-12x-1 - 2 <= 0
Simplificando:
x - 1 - 2(2x - 1)2x - 1 <= 0
x - 1 - 4x + 22x - 1 <= 0
-3x + 12x - 1 <= 0
Vamos identificar os pontos críticos onde o numerador ou denominador é zero:
  • Numerador: -3x + 1 = 0 Rightarrow x = 13
  • Denominador: 2x - 1 = 0 Rightarrow x = 12
Agora, vamos analisar os intervalos determinados por esses pontos:
  1. Para x < 13:
    Numerador positivo ( -3x + 1 > 0)
    Denominador negativo ( 2x - 1 < 0)
    Resultado: Negativo
  2. Para 13 < x < 12:
    Numerador negativo ( -3x + 1 < 0)
    Denominador negativo ( 2x - 1 < 0)
    Resultado: Positivo
  3. Para x > 12:
    Numerador negativo ( -3x + 1 < 0)
    Denominador positivo ( 2x - 1 > 0)
    Resultado: Negativo
Como queremos -3x + 12x - 1 <= 0, os intervalos que satisfazem são onde a expressão é negativa ou igual a zero:
x <= 13 ou x >= 12

Passo 4

Agora, precisamos combinar as duas partes que resolvemos:
  1. Primeira parte:
    x < 12 ou x > 1
  2. Segunda parte:
    x <= 13 ou x >= 12
Vamos encontrar a interseção desses intervalos, ou seja, os valores de x que satisfazem ambas as condições:
  • Para x < 12:
    A segunda parte diz que x <= 13. Então, dentro desse intervalo, apenas x <= 13 satisfaz ambas as condições.
  • Para x > 1:
    A segunda parte também permite x >= 12, e claramente x > 1 já está incluso aqui.
Portanto, a solução final é:
x <= 13 ou x > 1

Resposta

A solução da inequação é:
x <= 13 ou x > 1
Em notação de intervalos:
$$
(-\infty,, \frac{1}{3}] \cup (1,, +\infty)
$$

Exercícios relacionados