Resolva as inequações dos exercícios 1. a 12.
x^{2}-5 x+6<0

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Temos a inequação x^{2}-5x+6<0.
  • A pergunta é: encontrar todos os valores de x (no conjunto dos números reais) que satisfazem essa inequação.

Passo 2

Primeiro objetivo prático: encontrar as raízes do polinômio x^{2}-5x+6, pois elas delimitam onde o sinal pode mudar. Para isso tentamos fatorar o trinômio. Procuro dois números que:
  • multipliquem para 6 (termo constante), e
  • somem para -5 (coeficiente de x).
Dois números que satisfazem isso são -2 e -3 (porque (-2)\cdot(-3)=6 e (-2)+(-3)=-5). Portanto o polinômio fatora como
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3).

Passo 3

Das fatores obtidos, as raízes (zeros) do polinômio são os valores que tornam algum fator zero:
x-2=0 \Rightarrow x=2, \qquad x-3=0 \Rightarrow x=3.
Esses são os pontos onde a expressão se anula; entre e fora desses pontos o sinal pode ser diferente.

Passo 4

Explicação conceitual (para saber onde a expressão é negativa):
  • O termo de maior grau é x^{2} com coeficiente positivo ( +1), então a parábola associada abre para cima. Isso implica que a expressão x^{2}-5x+6 é positiva para x muito à esquerda e muito à direita, e pode ser negativa somente entre as duas raízes (se as raízes forem reais distintas).
  • Outra forma prática é usar o método dos sinais dos fatores: como x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3), o sinal do produto depende do sinal de cada fator.

Passo 5

Faço o quadro de sinais rápido avaliando os intervalos determinados pelas raízes 2 e 3.
  • Para x<2: temos x-2<0 e x-3<0, então (x-2)(x-3)>0 (produto de dois negativos é positivo).
  • Para 2<x<3: temos x-2>0 e x-3<0, então (x-2)(x-3)<0 (produto de sinais opostos é negativo).
  • Para x>3: temos x-2>0 e x-3>0, então (x-2)(x-3)>0.
Portanto a expressão é negativa exatamente no intervalo entre 2 e 3.

Passo 6

Como a desigualdade é estrita ( <0), os pontos onde a expressão é zero ( x=2 e x=3) não pertencem à solução. Logo a solução é o intervalo aberto (2,3).

Passo 7

Verificação com valores de teste (para ganhar confiança):
  • Para x=0: 0^{2}-5\cdot0+6=6>0 (não satisfaz).
  • Para x=2{,}5: (2{,}5)^{2}-5\cdot2{,}5+6=6{,}25-12{,}5+6=-0{,}25<0 (satisfaz).
  • Para x=4: 4^{2}-5\cdot4+6=16-20+6=2>0 (não satisfaz).

Passo 8

Dica rápida para prova: sempre tente fatorar primeiro quando os coeficientes são inteiros pequenos; se não for fácil, use a fórmula quadrática \displaystyle x=\frac{5\pm\sqrt{(-5)^{2}-4\cdot1\cdot6}}{2}. Depois use o quadro de sinais ou o fato de que, para coeficiente líder positivo, a expressão quadrática é negativa entre as raízes.

Resposta

(2,3)

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