Resolva as inequações dos exercícios 1. a 12.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Temos a inequação
. - A pergunta é: encontrar todos os valores de
(no conjunto dos números reais) que satisfazem essa inequação.
Passo 2
Primeiro objetivo prático: encontrar as raízes do polinômio
, pois elas delimitam onde o sinal pode mudar. Para isso tentamos fatorar o trinômio. Procuro dois números que:
- multipliquem para
(termo constante), e - somem para
(coeficiente de ).
Dois números que satisfazem isso são
e
(porque
e
). Portanto o polinômio fatora como
Passo 3
Das fatores obtidos, as raízes (zeros) do polinômio são os valores que tornam algum fator zero:
Esses são os pontos onde a expressão se anula; entre e fora desses pontos o sinal pode ser diferente.
Passo 4
Explicação conceitual (para saber onde a expressão é negativa):
- O termo de maior grau é
com coeficiente positivo ( ), então a parábola associada abre para cima. Isso implica que a expressão é positiva para muito à esquerda e muito à direita, e pode ser negativa somente entre as duas raízes (se as raízes forem reais distintas). - Outra forma prática é usar o método dos sinais dos fatores: como
, o sinal do produto depende do sinal de cada fator.
Passo 5
Faço o quadro de sinais rápido avaliando os intervalos determinados pelas raízes
e
.
- Para
: temos e , então (produto de dois negativos é positivo). - Para
: temos e , então (produto de sinais opostos é negativo). - Para
: temos e , então .
Portanto a expressão é negativa exatamente no intervalo entre
e
.
Passo 6
Como a desigualdade é estrita (
), os pontos onde a expressão é zero (
e
) não pertencem à solução. Logo a solução é o intervalo aberto
.
Passo 7
Verificação com valores de teste (para ganhar confiança):
- Para
: (não satisfaz). - Para
: (satisfaz). - Para
: (não satisfaz).
Passo 8
Dica rápida para prova: sempre tente fatorar primeiro quando os coeficientes são inteiros pequenos; se não for fácil, use a fórmula quadrática
. Depois use o quadro de sinais ou o fato de que, para coeficiente líder positivo, a expressão quadrática é negativa entre as raízes.