Resolva as inequações:
\frac{1}{x-2} \geq \frac{5}{2 x-1}

Passo 1

Temos a inequação envolvendo frações racionais
\frac{1}{x-2} \ge \frac{5}{2x-1}
ou seja, queremos achar os valores de x (exceto aqueles que anulam denominadores) para os quais essa desigualdade é válida. O conteúdo aqui é análise de sinal de uma expressão racional.

Passo 2

Antes de tudo, identifiquemos o domínio da expressão. Os denominadores não podem ser zero:
x-2 \neq 0 \quad\text{e}\quad 2x-1 \neq 0
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x \neq 2 \quad\text{e}\quad x \neq \frac12.

Passo 3

Vamos passar tudo para o mesmo lado, subtraindo \tfrac{5}{2x-1} de ambos os lados:
\frac{1}{x-2} - \frac{5}{2x-1} \ge 0.

Passo 4

Em seguida, colocamos sobre um único denominador:
\frac{1}{x-2} - \frac{5}{2x-1} = \frac{(2x-1)-5(x-2)}{(x-2)(2x-1)} = \frac{2x-1 -5x +10}{(x-2)(2x-1)} = \frac{9-3x}{(x-2)(2x-1)}.

Passo 5

Agora fazemos o estudo de sinal da função
f(x)=\frac{9-3x}{(x-2)(2x-1)}.
Os pontos críticos são
x=3 \;(\text{zero do numerador}),\quad x=\tfrac12\;\text{e}\;x=2\;(\text{zeros do denominador}).
Montando o quadro de sinais em cada intervalo:
Intervalo x<\tfrac12 \tfrac12<x<2 2<x<3 x>3
Numerador 9-3x + + + -
Denom. (x-2)(2x-1) + - + + f(x) + - + -
Queremos f(x)\ge 0, ou seja, positivo ou zero. Portanto são válidos
x<\frac12 \quad\text{e}\quad 2<x<3,
e também x=3 (dá f(3)=0). Lembrando que x\neq\tfrac12 e x\neq2.

Passo 6

Reunindo tudo, a solução da inequação é
(-\infty,\tfrac12)\,\cup\,(2,3].

Resposta

\displaystyle x\in(-\infty,\tfrac12)\cup(2,3]

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