Resolva as inequações.
Passo 1
O enunciado pede resolver a inequação
Informações relevantes dadas:
- A expressão contém frações racionais com denominadores
e . - Domínio:
e (esses valores anulam denominadores e, portanto, não podem pertencer ao conjunto solução). - A pergunta é: encontrar todos os
reais que satisfazem a desigualdade acima.
Passo 2
Primeiro passo algébrico: passar tudo para o mesmo lado e reduzir a uma única fração. Escrevo
Para somar/subtrair frações, uso o denominador comum
. Escrevo cada termo com esse denominador:
Passo 3
Agora somo os numeradores (mesmo denominador). O numerador é
Vou expandir termo a termo, com calma:
Somando:
Isso dá
Portanto a inequação fica
Passo 4
Fatores e pontos críticos:
- Numerador
zera quando , isto é, em . - Denominador zera em
e (esses pontos não pertencem ao domínio).
Os pontos críticos que dividem a reta em intervalos são, em ordem crescente:
Observação sobre inclusão: zeros do numerador (onde a fração vale
) podem ser incluídos porque a desigualdade é
, desde que o denominador não seja zero nesses pontos. Zeros do denominador são excluídos.
Passo 5
Explicando o método de análise de sinais (a “aula rápida” que prometi): para uma fração racional como
, o sinal em cada intervalo entre pontos críticos é dado pelo produto dos sinais de
e
. Quando ambos têm sinal positivo ou ambos negativo, a fração é positiva; quando forem sinais opostos, a fração é negativa. Zeros simples do numerador trocam o sinal ao atravessá-los, e zeros do denominador são assíntotas (pontos proibidos). Aqui os fatores simples são fáceis de analisar sem multiplicidades complicadas.
Passo 6
Determino o sinal de numerador e denominador em cada intervalo (uso números de teste e raciocínio sobre desigualdades simples).
Sinal do numerador
:
- Para
(isto é, ): . - Para
: .
Sinal do denominador
:
- Para
: e ⇒ produto . - Para
: e ⇒ produto . - Para
: e ⇒ produto .
Agora combino sinais por intervalos:
-
(por exemplo ): numerador , denominador ⇒ fração . -
(por exemplo ): numerador , denominador ⇒ fração . -
(por exemplo ): numerador , denominador ⇒ fração . -
(por exemplo ): numerador , denominador ⇒ fração . -
(por exemplo ): numerador , denominador ⇒ fração .
Além disso, nos pontos
a fração vale exatamente
(numerador zero, denominador não zero), então esses pontos satisfazem a desigualdade
. Já
e
são proibidos.
Passo 7
Concluo que a inequação
é satisfeita nos intervalos onde a fração é positiva ou zero:
- no intervalo
(inclui , exclui ), - e no intervalo
(inclui , exclui ).
Esses dois intervalos são a solução final.