Resolva as inequações.
\frac{x}{x+1}-\frac{1}{x-3} \geq 2

Passo 1

O enunciado pede resolver a inequação
\frac{x}{x+1}-\frac{1}{x-3}\geq 2.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão contém frações racionais com denominadores x+1 e x-3.
  • Domínio: x\neq -1 e x\neq 3 (esses valores anulam denominadores e, portanto, não podem pertencer ao conjunto solução).
  • A pergunta é: encontrar todos os x reais que satisfazem a desigualdade acima.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: passar tudo para o mesmo lado e reduzir a uma única fração. Escrevo
\frac{x}{x+1}-\frac{1}{x-3}-2\geq 0.
Para somar/subtrair frações, uso o denominador comum (x+1)(x-3). Escrevo cada termo com esse denominador:
\frac{x(x-3)}{(x+1)(x-3)}-\frac{1(x+1)}{(x+1)(x-3)}-\frac{2(x+1)(x-3)}{(x+1)(x-3)}\geq 0.

Passo 3

Agora somo os numeradores (mesmo denominador). O numerador é
x(x-3)-1(x+1)-2(x+1)(x-3).
Vou expandir termo a termo, com calma:
x(x-3)=x^2-3x,
-1(x+1)=-x-1,
-2(x+1)(x-3)=-2\bigl(x^2-2x-3\bigr)=-2x^2+4x+6.
Somando:
x^2-3x -x -1 -2x^2+4x+6 = (x^2-2x^2) +(-3x-x+4x)+(-1+6).
Isso dá
-x^2 +0x +5 = 5 - x^2.
Portanto a inequação fica
\frac{5-x^2}{(x+1)(x-3)}\geq 0.

Passo 4

Fatores e pontos críticos:
  • Numerador 5-x^2 zera quando x^2=5, isto é, em x=\pm\sqrt{5}.
  • Denominador zera em x=-1 e x=3 (esses pontos não pertencem ao domínio).
    Os pontos críticos que dividem a reta em intervalos são, em ordem crescente:
-\infty,\\\ -\sqrt{5},\\\ -1,\\ \sqrt{5},\\\ 3,\\ \infty.
Observação sobre inclusão: zeros do numerador (onde a fração vale 0) podem ser incluídos porque a desigualdade é \geq 0, desde que o denominador não seja zero nesses pontos. Zeros do denominador são excluídos.

Passo 5

Explicando o método de análise de sinais (a “aula rápida” que prometi): para uma fração racional como \dfrac{N(x)}{D(x)}, o sinal em cada intervalo entre pontos críticos é dado pelo produto dos sinais de N(x) e D(x). Quando ambos têm sinal positivo ou ambos negativo, a fração é positiva; quando forem sinais opostos, a fração é negativa. Zeros simples do numerador trocam o sinal ao atravessá-los, e zeros do denominador são assíntotas (pontos proibidos). Aqui os fatores simples são fáceis de analisar sem multiplicidades complicadas.

Passo 6

Determino o sinal de numerador e denominador em cada intervalo (uso números de teste e raciocínio sobre desigualdades simples).
Sinal do numerador 5-x^2:
  • Para |x|<\sqrt{5} (isto é, -\sqrt{5}<x<\sqrt{5}): 5-x^2>0.
  • Para |x|>\sqrt{5}: 5-x^2<0.
Sinal do denominador (x+1)(x-3):
  • Para x<-1: x+1<0 e x-3<0 ⇒ produto >0.
  • Para -1<x<3: x+1>0 e x-3<0 ⇒ produto <0.
  • Para x>3: x+1>0 e x-3>0 ⇒ produto >0.
Agora combino sinais por intervalos:
  1. x<-\sqrt{5} (por exemplo x=-3): numerador <0, denominador >0 ⇒ fração <0.
  2. -\sqrt{5}<x<-1 (por exemplo x=-2): numerador >0, denominador >0 ⇒ fração >0.
  3. -1<x<\sqrt{5} (por exemplo x=0): numerador >0, denominador <0 ⇒ fração <0.
  4. \sqrt{5}<x<3 (por exemplo x=2{,}5): numerador <0, denominador <0 ⇒ fração >0.
  5. x>3 (por exemplo x=4): numerador <0, denominador >0 ⇒ fração <0.
Além disso, nos pontos x=\pm\sqrt{5} a fração vale exatamente 0 (numerador zero, denominador não zero), então esses pontos satisfazem a desigualdade \geq 0. Já x=-1 e x=3 são proibidos.

Passo 7

Concluo que a inequação \dfrac{5-x^2}{(x+1)(x-3)}\geq0 é satisfeita nos intervalos onde a fração é positiva ou zero:
  • no intervalo [-\sqrt{5},-1) (inclui x=-\sqrt{5}, exclui x=-1),
  • e no intervalo [\sqrt{5},3) (inclui x=\sqrt{5}, exclui x=3).
Esses dois intervalos são a solução final.

Resposta

[-\sqrt{5},-1)\cup[\sqrt{5},3)

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