Resolva as inequações.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
Informações dadas e o que precisamos considerar:
- O numerador é
. - O denominador é
. - Devemos encontrar todos os valores de
(reais) para os quais a expressão racional é maior ou igual a zero. - Atenção: valores de
que anulam o denominador não pertencem ao domínio da expressão (são proibidos).
Passo 2
Primeiro fatoramos numerador e denominador para ficar mais fácil analisar sinais.
Fatorando o numerador
. Procuramos dois números que multiplicam
e somam
. Esses números são
e
. Logo
Fatorando o denominador
. Colocamos
em evidência:
Assim a inequação fica
Passo 3
Identificamos os pontos críticos (zeros do numerador e zeros do denominador), pois são onde o sinal da expressão pode mudar:
- Zeros do numerador:
e . Nesses pontos a fração vale (desde que o denominador não seja zero), então podem entrar na solução porque queremos . - Zeros do denominador:
e . Nesses pontos a expressão não está definida (divisão por zero), portanto esses valores são proibidos e não podem estar na solução.
Os pontos críticos ordenados são
Vamos estudar o sinal da expressão em cada intervalo determinado por esses pontos.
Passo 4
Método: para cada fator
determinamos se é positivo ou negativo em um ponto teste de cada intervalo e multiplicamos esses sinais para obter o sinal da fração. Todos os fatores são de multiplicidade
(linéares), então mudam de sinal ao atravessar o zero correspondente.
Escolho pontos-teste:
- Intervalo
: tomo . - Intervalo
: tomo . - Intervalo
: tomo . - Intervalo
: tomo . - Intervalo
: tomo .
Agora avalio o sinal de cada fator nesses pontos.
Passo 5
Avaliação dos sinais nos pontos-teste (cada linha mostra o sinal de cada fator e o sinal final da fração).
Para
:
Numerador:
Denominador:
Fraçã o:
Logo a expressão é positiva em .
Denominador:
Fraçã o:
Logo a expressão é positiva em
Para
:
Numerador:
. Denominador:
.
Fraçã o:
Logo a expressão é negativa em .
Fraçã o:
Logo a expressão é negativa em
Para
:
Numerador:
. Denominador:
.
Fraçã o: .
Logo a expressão é positiva em .
Fraçã o:
Logo a expressão é positiva em
Para
:
Numerador:
. Denominador:
.
Fraçã o: .
Logo a expressão é negativa em .
Fraçã o:
Logo a expressão é negativa em
Para
:
Numerador:
. Denominador:
.
Fraçã o: .
Logo a expressão é positiva em .
Fraçã o:
Logo a expressão é positiva em
Passo 6
Agora juntamos os resultados e tratamos os pontos críticos:
- A expressão é positiva em
, e . - A expressão é negativa em
e . - Em
e a fração vale porque o numerador zera e o denominador é diferente de zero; como queremos , esses pontos são incluídos. - Em
e a expressão é indefinida (denominador zero); portanto esses pontos são excluídos.
Portanto a solução da inequação é a união dos intervalos onde a fração é positiva, mais os zeros permitidos: