Resolva as inequações:
(h) |x-1|-|x+2|>x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação com valores absolutos
|x-1| - |x+2| > x.
O conteúdo envolvido é o estudo de inequações que envolvem expressões do tipo |\cdot|. Para resolver, vamos dividir o domínio em partes segundo os pontos em que as expressões dentro dos módulos mudam de sinal, que são x=-2 e x=1, e em cada parte remover os módulos adequadamente.

Passo 2

Dividimos o eixo real em três regiões segundo as raízes de x-1 e x+2:
  1. x < -2;
  2. -2 \le x < 1;
  3. x \ge 1.
    Em cada região substituiremos |x-1| e |x+2| pelos seus equivalentes sem módulo.

Passo 3

Consideremos x < -2.
Nesse caso x-1<0 e x+2<0, logo
|x-1|=-(x-1)=1-x, \quad |x+2|=-(x+2)=-x-2.
Substituindo na inequação:
(1-x)-(-x-2)>x \quad\Longrightarrow\quad 1 - x + x + 2 > x \quad\Longrightarrow\quad 3> x.
Como já estamos em x< -2, e 3>x é sempre verdade para x< -2, toda essa região satisfaz a inequação.

Passo 4

Consideremos -2 \le x < 1.
Aqui x+2\ge0 e x-1<0, então
|x-1|=1-x, \quad |x+2|=x+2.
A inequação vira
(1-x)-(x+2)>x \quad\Longrightarrow\quad 1 - x - x - 2 > x \quad\Longrightarrow\quad -2x -1 > x \quad\Longrightarrow\quad -3x > 1 \quad\Longrightarrow\quad x < -\tfrac{1}{3}.
Devemos intersectar com -2 \le x < 1, resultando em -2 \le x < -\tfrac{1}{3}.

Passo 5

Consideremos x \ge 1.
Nesse caso x-1\ge0 e x+2\ge0, logo
|x-1|=x-1, \quad |x+2|=x+2.
Substituindo:
(x-1)-(x+2)>x \quad\Longrightarrow\quad x -1 - x - 2 > x \quad\Longrightarrow\quad -3 > x.
Mas essa condição -3>x não se satisfaz em x\ge1. Portanto não há solução nessa região.

Passo 6

Unindo as soluções das regiões:
  • Para x< -2 vale toda a porção (-\infty,-2).
  • Para -2 \le x <1 vale [-2,-\tfrac{1}{3}).
    Juntando, a solução da inequação é
(-\infty,-\tfrac{1}{3}).

Resposta

(-\infty, -\tfrac{1}{3})

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