Resolva as inequações:
(f) |2 x-1|<x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação com valor absoluto
|2x - 1| < x.
O conteúdo aqui é inequações envolvendo valor absoluto. Para resolver, vamos lembrar que |A|<B com B>0 equivale a -B < A < B, mas antes precisamos cuidar do sinal de x (pois no caso x\le0 o lado direito é não‐positivo e |2x-1| é não‐negativo, logo não haveria solução).

Passo 2

Analisamos primeiro o caso x\le0.
Para x\le0 temos |2x-1|\ge0 e x\le0, então
|2x-1|<x\le0
seria \text{(algo não\text{‐}negativo)} < \text{(algo não\text{‐}positivo)}ãã, o que é impossível.
Logo não há soluções com x\le0. A partir de agora assumimos x>0.

Passo 3

Dividimos em dois subcasos segundo o sinal de 2x-1:
Caso 1: 2x-1\ge0, isto é, x\ge\tfrac12.
Nesse caso |2x-1| = 2x-1 e a inequação vira
2x - 1 < x \quad\Longrightarrow\quad 2x - x < 1 \quad\Longrightarrow\quad x < 1.
Combinando com x\ge\tfrac12 e x>0, obtemos
\tfrac12 \le x < 1.

Passo 4

Caso 2: 2x-1<0, isto é, 0< x<\tfrac12.
Aqui |2x-1| = 1 - 2x e a inequação fica
1 - 2x < x \quad\Longrightarrow\quad 1 < 3x \quad\Longrightarrow\quad x > \tfrac13.
Combinando com 0< x< \tfrac12, concluímos
\tfrac13 < x < \tfrac12.

Passo 5

Juntando os dois casos não‐sobrepostos ( \tfrac13 < x < \tfrac12 e \tfrac12 \le x <1), a solução geral é
\tfrac13 < x < 1,
ou seja, x\in\bigl(\tfrac13,1\bigr).

Resposta

\displaystyle x\in\bigl(\tfrac13,1\bigr).

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