Resolva as inequações.
Passo 1
O enunciado dá a desigualdade composta
O que é pedido: encontrar todos os valores de
que satisfazem essa desigualdade composta.
Informações relevantes dadas: os números envolvidos são ,
,
,
e
.
Informações relevantes dadas: os números envolvidos são
Passo 2
Estratégia básica (sem resolver ainda): numa desigualdade composta do tipo
é válido operar os três membros simultaneamente por uma mesma operação que preserve a equivalência (somar/subtrair uma mesma constante, multiplicar/dividir por um mesmo número). Se multiplicar ou dividir pelos três membros por um número negativo, é obrigatório inverter os sinais das desigualdades. Vamos aplicar operações simples para isolar
.
Passo 3
Primeira operação: multiplicar todos os termos por
. Como
é um número positivo, os sentidos das desigualdades não mudam. Portanto:
Passo 4
Segunda operação: subtrair
dos três membros para isolar o termo com
. Subtrair a mesma quantidade dos três membros não altera os sinais das desigualdades. Assim:
Passo 5
Terceira operação: dividir os três membros por
para obter
. Aqui atenção importante — regra de sinais: ao dividir (ou multiplicar) uma desigualdade por um número negativo, os sinais de desigualdade se invertem. Aplicando a divisão por
aos três membros obtemos inicialmente
Note que os sinais ficaram invertidos (
virou
). Agora calculamos os quocientes:
Portanto a desigualdade fica
Passo 6
Organizar a desigualdade no formato usual (menor para maior) trocando as extremidades:
Explicando em palavras:
pode variar desde
até
, incluindo as extremidades, porque as desigualdades eram não estritas (
).
Passo 7
Verificação rápida dos extremos para garantir que não houve erro de sinal:
- Para
temos , que está entre e (inclusive). - Para
temos , que também está entre e (inclusive).