Resolva as inequações.
-9 \leq \frac{5-8 x}{3} \leq 1

Passo 1

O enunciado dá a desigualdade composta
-9 \leq \frac{5-8x}{3} \leq 1.
O que é pedido: encontrar todos os valores de x que satisfazem essa desigualdade composta.
Informações relevantes dadas: os números envolvidos são -9, 5, -8, 3 e 1.

Passo 2

Estratégia básica (sem resolver ainda): numa desigualdade composta do tipo \,a \leq \dfrac{\text{expressão em }x}{c} \leq b\,ã é válido operar os três membros simultaneamente por uma mesma operação que preserve a equivalência (somar/subtrair uma mesma constante, multiplicar/dividir por um mesmo número). Se multiplicar ou dividir pelos três membros por um número negativo, é obrigatório inverter os sinais das desigualdades. Vamos aplicar operações simples para isolar x.

Passo 3

Primeira operação: multiplicar todos os termos por 3. Como 3 é um número positivo, os sentidos das desigualdades não mudam. Portanto:
-9\cdot 3 \leq 5-8x \leq 1\cdot 3
-27 \leq 5-8x \leq 3.

Passo 4

Segunda operação: subtrair 5 dos três membros para isolar o termo com x. Subtrair a mesma quantidade dos três membros não altera os sinais das desigualdades. Assim:
-27-5 \leq 5-8x-5 \leq 3-5
-32 \leq -8x \leq -2.

Passo 5

Terceira operação: dividir os três membros por -8 para obter x. Aqui atenção importante — regra de sinais: ao dividir (ou multiplicar) uma desigualdade por um número negativo, os sinais de desigualdade se invertem. Aplicando a divisão por -8 aos três membros obtemos inicialmente
\frac{-32}{-8} \geq x \geq \frac{-2}{-8}.
Note que os sinais ficaram invertidos ( \leq virou \geq). Agora calculamos os quocientes:
\frac{-32}{-8} = 4, \qquad \frac{-2}{-8} = \frac{1}{4}.
Portanto a desigualdade fica
4 \geq x \geq \frac{1}{4}.

Passo 6

Organizar a desigualdade no formato usual (menor para maior) trocando as extremidades:
\frac{1}{4} \leq x \leq 4.
Explicando em palavras: x pode variar desde \dfrac{1}{4} até 4, incluindo as extremidades, porque as desigualdades eram não estritas ( \leq).

Passo 7

Verificação rápida dos extremos para garantir que não houve erro de sinal:
  • Para x=\dfrac{1}{4} temos \dfrac{5-8\cdot\frac{1}{4}}{3}=\dfrac{5-2}{3}=\dfrac{3}{3}=1, que está entre -9 e 1 (inclusive).
  • Para x=4 temos \dfrac{5-8\cdot 4}{3}=\dfrac{5-32}{3}=\dfrac{-27}{3}=-9, que também está entre -9 e 1 (inclusive).

Resposta

\dfrac{1}{4} \leq x \leq 4

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