Resolva as inequações.
-\frac{5}{4} \leq \frac{2 x-3}{2} \leq \frac{7}{2}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os valores de x que satisfazem a inequação composta
-\frac{5}{4} \leq \frac{2x-3}{2} \leq \frac{7}{2}.
Informações dadas:
  • A desigualdade é composta, ou seja é uma única expressão com três partes (parte esquerda, expressão central e parte direita).
  • Os sinais são do tipo “menor ou igual” ( \leq) nas duas extremidades, portanto se algum extremo for alcançável, ele pertence à solução.

Passo 2

Plano de ação: eliminar o denominador para ficar com expressões mais simples e depois isolar x. Lembre-se da regra importante: multiplicar (ou dividir) todos os termos de uma inequação por um número positivo preserva as desigualdades (as setas não mudam de sentido). Aqui vamos multiplicar tudo por 2 porque o denominador é 2.
Multiplicando cada parte da desigualdade por 2 (número positivo), obtemos
2\cdot\left(-\frac{5}{4}\right) \leq 2\cdot\frac{2x-3}{2} \leq 2\cdot\frac{7}{2}.

Passo 3

Calcular cada termo após a multiplicação. Fazer as contas passo a passo:
2\cdot\left(-\frac{5}{4}\right) = -\frac{5}{2}, \qquad 2\cdot\frac{2x-3}{2} = 2x-3, \qquad 2\cdot\frac{7}{2} = 7.
Portanto a desigualdade fica
-\frac{5}{2} \leq 2x-3 \leq 7.

Passo 4

Agora vamos isolar x. Primeiro somamos 3 a todas as partes da desigualdade. Lembre que somar o mesmo número a todas as partes preserva as desigualdades.
-\frac{5}{2} + 3 \leq 2x-3 + 3 \leq 7 + 3.
Calcular as somas:
-\frac{5}{2} + 3 = -\frac{5}{2} + \frac{6}{2} = \frac{1}{2}, \qquad 7 + 3 = 10.
Logo
\frac{1}{2} \leq 2x \leq 10.

Passo 5

Por fim, dividimos todas as partes por 2. Dividir por um número positivo também preserva as desigualdades. Assim:
\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{10}{2}.
Fazendo as contas:
\frac{1}{4} \leq x \leq 5.

Passo 6

Verificação (rápida): testar os extremos para garantir que são permitidos (porque usamos \leq). Para x=\frac{1}{4}:
\frac{2x-3}{2}=\frac{2\cdot\frac{1}{4}-3}{2}=\frac{\frac{1}{2}-3}{2}=\frac{-\frac{5}{2}}{2}=-\frac{5}{4},
o que satisfaz a igualdade esquerda. Para x=5:
\frac{2x-3}{2}=\frac{2\cdot 5-3}{2}=\frac{10-3}{2}=\frac{7}{2},
o que satisfaz a igualdade direita. Portanto os extremos estão inclusos.

Resposta

\left[\tfrac{1}{4},5\right]

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