Resolva as inequações.
-1 \leq \frac{4 x-3}{5} \leq \frac{3}{15}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação composta
-1 \leq \frac{4x-3}{5} \leq \frac{3}{15}.
Informações dadas:
  • A expressão central é \dfrac{4x-3}{5}.
  • O lado esquerdo é -1.
  • O lado direito é \dfrac{3}{15}.
O objetivo é encontrar todos os valores de x que satisfazem simultaneamente essas duas desigualdades.

Passo 2

Primeiro simplifico a razão do lado direito porque fica mais fácil trabalhar:
\frac{3}{15}=\frac{1}{5}.
Portanto a desigualdade fica
-1 \leq \frac{4x-3}{5} \leq \frac{1}{5}.
Uma inequação composta como essa significa que devem valer ao mesmo tempo as duas desigualdades:
-1 \leq \frac{4x-3}{5} \qquad\text{e}\qquad \frac{4x-3}{5} \leq \frac{1}{5}.

Passo 3

Vou resolver a desigualdade da esquerda:
-1 \leq \frac{4x-3}{5}.
Regra importante: ao multiplicar ou dividir uma desigualdade por um número positivo, o sentido da desigualdade NÃO se altera. Aqui vou multiplicar ambos os lados por 5 (que é positivo), então:
-1\cdot 5 \leq 4x-3.
Isto dá
-5 \leq 4x-3.
Agora somo 3 em ambos os lados (somar a mesma coisa não altera o sentido):
-5+3 \leq 4x.
Portanto
-2 \leq 4x.
Divido ambos os lados por 4 (positivo, então o sentido se mantém):
-\frac{2}{4} \leq x.
Simplificando a fração:
-\frac{1}{2} \leq x.
Ou seja, a partir da desigualdade da esquerda obtemos
x \geq -\frac{1}{2}.

Passo 4

Agora resolvo a desigualdade da direita:
\frac{4x-3}{5} \leq \frac{1}{5}.
Multiplico ambos os lados por 5 (positivo):
4x-3 \leq 1.
Somando 3 aos dois lados:
4x \leq 4.
Dividindo por 4 (positivo):
x \leq 1.

Passo 5

As duas condições devem valer simultaneamente, então tomo a interseção
-\frac{1}{2} \leq x \leq 1.
Vale a pena checar rapidamente as extremidades:
  • Para x=-\tfrac{1}{2}: \dfrac{4(-\tfrac{1}{2})-3}{5}=\dfrac{-2-3}{5}=\dfrac{-5}{5}=-1 (satisfaz o lado esquerdo).
  • Para x=1: \dfrac{4\cdot1-3}{5}=\dfrac{1}{5} (satisfaz o lado direito).
Portanto a solução é correta e inclui os extremos.

Passo 6

Dica rápida para a prova: ao multiplicar/dividir desigualdades, sempre verifique o sinal do número que usa — se for negativo, o sentido da desigualdade inverte. Aqui usamos apenas números positivos ( 5 e 4), então não houve inversão. Também simplificar frações desde o início (como \tfrac{3}{15}=\tfrac{1}{5}) evita confusão.

Resposta

\left[-\tfrac{1}{2},\,1\right]

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