Resolva as inequações:
|3 x-1|>\frac{1}{3}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
|3x-1| > \tfrac{1}{3}.
Informações dadas:
  • A expressão é um valor absoluto |3x-1|.
  • O lado direito é \tfrac{1}{3}, um número positivo.
    Pergunta: determinar todos os valores reais de x que satisfazem essa desigualdade.

Passo 2

Entendendo o valor absoluto de forma intuitiva: para qualquer número A, |A| representa a distância de A até 0 na reta numérica. A desigualdade |A|>\,b com b>0 significa que a distância de A até 0 é maior que b, ou seja, A está fora do intervalo ( -b, b ). Portanto, para b>0 vale a equivalência
|A|>b \quad\Longleftrightarrow\quad A>b \quad\text{ou}\quad A< -b.

Passo 3

Aplicando essa equivalência com A=3x-1 e b=\tfrac{1}{3}, obtemos as duas desigualdades equivalentes:
\text{(i)}\quad 3x-1>\tfrac{1}{3} \qquad\text{ou}\qquad \text{(ii)}\quad 3x-1< -\tfrac{1}{3}.

Passo 4

Resolver a desigualdade (i). Somando 1 em ambos os lados:
3x > 1 + \tfrac{1}{3}.
Calcular 1+\tfrac{1}{3}:
1+\tfrac{1}{3}=\tfrac{3}{3}+\tfrac{1}{3}=\tfrac{4}{3}.
Logo
3x > \tfrac{4}{3}.
Dividindo ambos os lados por 3 (positivo, então a direção da desigualdade não muda):
x > \frac{\tfrac{4}{3}}{3} = \tfrac{4}{9}.

Passo 5

Resolver a desigualdade (ii). Somando 1 em ambos os lados:
3x < 1 - \tfrac{1}{3}.
Calcular 1-\tfrac{1}{3}:
1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{3}{3}-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}.
Logo
3x < \tfrac{2}{3}.
Dividindo por 3:
x < \frac{\tfrac{2}{3}}{3} = \tfrac{2}{9}.

Passo 6

Combinar os resultados das duas ramificações: a solução da inequação original é a união das duas soluções obtidas:
x < \tfrac{2}{9}\quad\text{ou}\quad x > \tfrac{4}{9}.
Os extremos \tfrac{2}{9} e \tfrac{4}{9} não pertencem à solução porque a desigualdade é estrita ( >).

Passo 7

Verificação rápida (sanity check): escolher um ponto à esquerda, um no meio e um à direita.
  • x=0: |3\cdot0-1|=1>\tfrac{1}{3} (satisfeita).
  • x=\tfrac{1}{3}: |3\cdot\tfrac{1}{3}-1|=0\not>\tfrac{1}{3} (não satisfeita; \tfrac{1}{3} está entre \tfrac{2}{9} e \tfrac{4}{9}).
  • x=1: |3\cdot1-1|=2>\tfrac{1}{3} (satisfeita).
    Tudo consistente com a solução encontrada.

Passo 8

Observação alternativa (rápida): podia-se também fatorar 3 dentro do módulo:
|3x-1|=3\big|x-\tfrac{1}{3}\big|,
e então resolver 3\big|x-\tfrac{1}{3}\big|>\tfrac{1}{3}, obtendo \big|x-\tfrac{1}{3}\big|>\tfrac{1}{9}, que leva às mesmas fronteiras x<\tfrac{2}{9} e x>\tfrac{4}{9}.

Resposta

x<\tfrac{2}{9} ou x>\tfrac{4}{9}

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