Considere a reta real. Encontre x na reta real cuja distância em relação a 4 é 9 e cuja distância em relação a 7 é 12 .

Passo 1

O enunciado pede: encontrar x\in\mathbb{R} que satisfaça duas condições simultâneas:
  • a distância de x até 4 é 9;
  • a distância de x até 7 é 12.
Informações dadas (resumidas):
  • distância entre dois pontos a e b na reta real é |a-b|;
  • portanto as duas equações que representam as condições são |x-4|=9 e |x-7|=12.

Passo 2

Conceito importante (aula rápida): o valor absoluto |u| mede a distância de u até 0. Em particular, |x-a| mede a distância entre x e a. A equação |u|=c com c\ge 0 é equivalente a
u=c\quad\text{ou}\quad u=-c.
Isto vem da definição: só há duas posições a distância c de um ponto na reta — à direita (adição) ou à esquerda (subtração).

Passo 3

Aplicando isso à primeira condição |x-4|=9: temos duas possibilidades
x-4=9 \quad\text{ou}\quad x-4=-9.
Resolvendo cada uma:
x-4=9 \Rightarrow x=13,
x-4=-9 \Rightarrow x=-5.
Logo os candidatos vindos da primeira condição são x=13 e x=-5.

Passo 4

Agora devemos verificar quais desses candidatos também satisfazem a segunda condição |x-7|=12.
Verificação para x=13:
|13-7|=|6|=6,
como 6\neq 12, x=13 não satisfaz a segunda condição.
Verificação para x=-5:
|-5-7|=|-12|=12,
aqui 12=12, portanto x=-5 satisfaz também a segunda condição.

Passo 5

Concluímos que, entre os candidatos gerados pela primeira equação, apenas x=-5 cumpre simultaneamente |x-4|=9 e |x-7|=12. Logo existe exatamente uma solução real.

Resposta

-5

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