Resolva as inequações:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todos os números reais
que satisfazem a inequação
Informações dadas:
- A expressão envolvida é o valor absoluto
. - O sinal da desigualdade é
(maior ou igual). - O número do lado direito é
(não-negativo).
A tarefa é dar o conjunto de todos osque tornam verdadeira essa desigualdade.
Passo 2
Entendendo o valor absoluto de forma didática. Para qualquer expressão real
Intuitivamente,
até
na reta real. Daí surgem duas maneiras úteis de resolver inequações envolvendo
.]
Passo 3
Regra padrão para
com
. Quando temos uma inequação do tipo
ela é equivalente ao sistema "fora do intervalo
", ou seja:
Explicando:
é a distância de
a
; pedir
significa que essa distância é pelo menos
, então
ou fica à esquerda de
ou à direita de
.
Passo 4
Aplicando a regra ao nosso problema com
e
. Temos a equivalência
Passo 5
Resolver cada uma das duas desigualdades separadamente.
Primeira desigualdade:
Somando
em ambos os lados:
Logo a primeira solução é
.
Segunda desigualdade:
Somando
em ambos os lados:
Logo a segunda solução é
.
Passo 6
Juntando as duas partes: a solução completa é a união das duas coleções de
obtidas. Portanto
Observação sobre inclusão dos extremos: como a desigualdade original é
, os pontos que tornam
devem ser incluídos. Verificação rápida: para
temos
e para
temos
, ambos satisfazem a desigualdade.
Passo 7
Testes rápidos para ganhar confiança:
-
: — pertence à solução. -
: — não pertence. -
: — pertence.
Isso confirma que os intervalos encontrados estão corretos.