Resolva as inequações:
|x-3| \geq 4

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os números reais x que satisfazem a inequação
|x-3| \geq 4.
Informações dadas:
  • A expressão envolvida é o valor absoluto |x-3|.
  • O sinal da desigualdade é \geq (maior ou igual).
  • O número do lado direito é 4 (não-negativo).
    A tarefa é dar o conjunto de todos os x\in\mathbb{R} que tornam verdadeira essa desigualdade.

Passo 2

Entendendo o valor absoluto de forma didática. Para qualquer expressão real A\), \[|A|=\begin{cases} A, & \text{se } A\ge 0,\\[4pt] -A, & \text{se } A<0. \end{cases}
Intuitivamente, |A|\] representa a distância de \(A até 0 na reta real. Daí surgem duas maneiras úteis de resolver inequações envolvendo |A|.]

Passo 3

Regra padrão para |A|\ge b com b\ge 0. Quando temos uma inequação do tipo
|A| \ge b\quad\text{com}\quad b\ge 0,
ela é equivalente ao sistema "fora do intervalo (-b,b)", ou seja:
A \le -b \quad\text{ou}\quad A \ge b.
Explicando: |A| é a distância de A a 0; pedir |A|\ge b significa que essa distância é pelo menos b, então A ou fica à esquerda de -b ou à direita de b.

Passo 4

Aplicando a regra ao nosso problema com A = x-3 e b=4. Temos a equivalência
|x-3| \ge 4 \quad\Longleftrightarrow\quad x-3 \le -4 \quad\text{ou}\quad x-3 \ge 4.

Passo 5

Resolver cada uma das duas desigualdades separadamente.
Primeira desigualdade:
x-3 \le -4.
Somando 3 em ambos os lados:
x \le -4 + 3 = -1.
Logo a primeira solução é x \le -1.
Segunda desigualdade:
x-3 \ge 4.
Somando 3 em ambos os lados:
x \ge 4 + 3 = 7.
Logo a segunda solução é x \ge 7.

Passo 6

Juntando as duas partes: a solução completa é a união das duas coleções de x obtidas. Portanto
x \in (-\infty,-1] \\ \cup\\ [7,\infty).
Observação sobre inclusão dos extremos: como a desigualdade original é \ge, os pontos que tornam |x-3|=4 devem ser incluídos. Verificação rápida: para x=-1 temos |-1-3|=| -4|=4 e para x=7 temos |7-3|=4, ambos satisfazem a desigualdade.

Passo 7

Testes rápidos para ganhar confiança:
  • x=-2: |-2-3|=5\ge 4 — pertence à solução.
  • x=0: |0-3|=3<4 — não pertence.
  • x=10: |10-3|=7\ge4 — pertence.
    Isso confirma que os intervalos encontrados estão corretos.

Resposta

(- \infty,-1] \cup [7,\infty)

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