Resolva as inequações:
|4-x^2| <= x+72

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação com valor absoluto
|4 - x^2| <= x+72
O conteúdo aqui é inequação envolvendo valor absoluto. Lembre que, para uma expressão A e um número B, temos
|A|<= B Long<=ftrightarrow B>= 0 e -,B <= A <= B

Passo 2

Aplicando essa ideia, precisamos primeiro garantir que
x+72>= 0 Longrightarrow x+7>= 0 Longrightarrow x>= -7
Só para x>= -7 faz sentido ter l|4 - x^2r|<= (x+7)/2.

Passo 3

Ainda para x>= -7, dividimos a condição em duas desigualdades simultâneas:
-,x+72<= 4 - x^2 e 4 - x^2<= x+72

Passo 4

Resolvendo
4 - x^2<= x+72,
multiplicamos tudo por 2:
8 - 2x^2<= x+7 Longrightarrow -2x^2 - x +1 <= 0 Longrightarrow 2x^2 + x - 1 >= 0
A equação 2x^2+x-1=0 tem De<a=1+8=9 e raízes
x=-1pm34 ;Longrightarrow; x=-1,;x=tfrac12
Como o coeficiente de x^2 em 2x^2+x-1 é positivo, a região que satisfaz 2x^2+x-1>=0 é
x<= -1 ou x>= tfrac12

Passo 5

Agora, resolvendo
-,x+72<= 4 - x^2,
multiplicamos por 2:
-(x+7)<= 8 - 2x^2 Longrightarrow 0<= -2x^2 + x + 15 Longrightarrow 2x^2 - x - 15 <= 0
Aqui De<a=1+120=121 e as raízes de 2x^2-x-15=0 são
x=1pm114 ;Longrightarrow; x=-tfrac52,;x=3
Como o coeficiente de x^2 em 2x^2-x-15 é positivo, a região que satisfaz 2x^2-x-15<=0 fica
-tfrac52 <= x <= 3

Passo 6

Para satisfazer as duas condições simultaneamente e ainda ter x>= -7, intersectamos os intervalos:
(x<= -1;ou;x>= tfrac12) ;cap; [-tfrac52,,3] ;cap; [-7,infty)
Isso resulta em
[-tfrac52,,-1] cup [tfrac12,,3]

Resposta

boxedxin l[-tfrac52,,-1r];cup;l[tfrac12,,3r]

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