Resolva as inequações
|x-1|+|x-3|<4 x

Passo 1

Vamos resolver a inequação $ |x - 1| + |x - 3| < 4x $. Aqui, estamos trabalhando com inequações envolvendo valores absolutos. Para resolver, precisamos entender como os valores absolutos funcionam e considerar diferentes casos com base nos pontos onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal.

Passo 2

Primeiro, identifique os pontos onde as expressões dentro dos valores absolutos, $ x - 1 $ e $ x - 3 $, se igualam a zero. Esses pontos são $ x = 1 $ e $ x = 3 $. Esses pontos dividem a reta numérica em três intervalos que vamos analisar separadamente:
  1. $ x < 1 $
  2. $ 1 \leq x < 3 $
  3. $ x \geq 3 $

Passo 3

Vamos analisar cada intervalo:
1. Para $ x < 1 $:
  • $ |x - 1| = -(x - 1) = 1 - x $
  • $ |x - 3| = -(x - 3) = 3 - x $
Substituindo na inequação:
x < 1
|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x
Agora, vamos resolver para $ x $:
|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x
(1 - x) + (3 - x) < 4x
4 - 2x < 4x
Como estamos considerando $ x < 1 $ neste intervalo, a solução é $ \frac{2}{3} < x < 1 $.
2. Para $ 1 \leq x < 3 $:
  • $ |x - 1| = x - 1 $
  • $ |x - 3| = -(x - 3) = 3 - x $
Substituindo na inequação:
x
4 < 6x
Resolvendo para $ x $:
x > 46
x > 23
Neste intervalo, $ x $ já é maior ou igual a 1, então a solução é $ 1 \leq x < 3 $.
3. Para $ x \geq 3 $:
  • $ |x - 1| = x - 1 $
  • $ |x - 3| = x - 3 $
Substituindo na inequação:
x < 1
23 < x < 1
Resolvendo para $ x $:
1 <= x < 3
|x - 1| = x - 1
Como estamos considerando $ x \geq 3 $, a solução é $ x \geq 3 $.

Passo 4

Agora, vamos juntar as soluções dos três intervalos:
  • De $ \frac{2}{3} < x < 1 $
  • De $ 1 \leq x < 3 $
  • De $ x \geq 3 $
Unindo todos, a solução completa é $ x > \frac{2}{3} $.

Resposta

A solução da inequação $ |x - 1| + |x - 3| < 4x $ é $ x > \frac{2}{3} $.

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