Resolva as inequações
Passo 1
Vamos resolver a inequação $ |x - 1| + |x - 3| < 4x $. Aqui, estamos trabalhando com inequações envolvendo valores absolutos. Para resolver, precisamos entender como os valores absolutos funcionam e considerar diferentes casos com base nos pontos onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal.
Passo 2
Primeiro, identifique os pontos onde as expressões dentro dos valores absolutos, $ x - 1 $ e $ x - 3 $, se igualam a zero. Esses pontos são $ x = 1 $ e $ x = 3 $. Esses pontos dividem a reta numérica em três intervalos que vamos analisar separadamente:
- $ x < 1 $
- $ 1 \leq x < 3 $
- $ x \geq 3 $
Passo 3
Vamos analisar cada intervalo:
1. Para $ x < 1 $:
- $ |x - 1| = -(x - 1) = 1 - x $
- $ |x - 3| = -(x - 3) = 3 - x $
Substituindo na inequação:
Agora, vamos resolver para $ x $:
Como estamos considerando $ x < 1 $ neste intervalo, a solução é $ \frac{2}{3} < x < 1 $.
2. Para $ 1 \leq x < 3 $:
- $ |x - 1| = x - 1 $
- $ |x - 3| = -(x - 3) = 3 - x $
Substituindo na inequação:
Resolvendo para $ x $:
Neste intervalo, $ x $ já é maior ou igual a 1, então a solução é $ 1 \leq x < 3 $.
3. Para $ x \geq 3 $:
- $ |x - 1| = x - 1 $
- $ |x - 3| = x - 3 $
Substituindo na inequação:
Resolvendo para $ x $:
Como estamos considerando $ x \geq 3 $, a solução é $ x \geq 3 $.
Passo 4
Agora, vamos juntar as soluções dos três intervalos:
- De $ \frac{2}{3} < x < 1 $
- De $ 1 \leq x < 3 $
- De $ x \geq 3 $
Unindo todos, a solução completa é $ x > \frac{2}{3} $.
Resposta
A solução da inequação $ |x - 1| + |x - 3| < 4x $ é $ x > \frac{2}{3} $.