Resolva as inequações

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação |2x^2 + 3x + 3| <= 3. Essa questão envolve inequações com valor absoluto e funções quadráticas. Para resolver, vamos entender como lidar com o valor absoluto e depois resolver a inequação sem ele.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a expressão |A| <= B significa que A está entre -B e B. Aplicando isso na nossa inequação:
-3 <= 2x^2 + 3x + 3 <= 3

Passo 3

Agora, vamos separar essa dupla inequação em duas partes para facilitar:
  1. 2x^2 + 3x + 3 >= -3
  2. 2x^2 + 3x + 3 <= 3

Passo 4

Vamos resolver a primeira inequação:
2x^2 + 3x + 3 >= -3
Primeiro, somamos 3 em ambos os lados:
2x^2 + 3x + 6 >= 0

Passo 5

Agora, analisamos a inequação 2x^2 + 3x + 6 >= 0. Como o coeficiente de x^2 é positivo (2), sabemos que a parábola abre para cima. Vamos calcular o discriminante ( De) para ver se há raízes reais:
De
Como De, a equação não tem raízes reais e a parábola está sempre acima do eixo x. Portanto, toda a primeira inequação é verdadeira para qualquer valor de x.

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda inequação:
2x^2 + 3x + 3 <= 3
Subtraindo 3 de ambos os lados:
2x^2 + 3x <= 0

Passo 7

Vamos fatorar a inequação 2x^2 + 3x <= 0:
x(2x + 3) <= 0

Passo 8

Para resolver x(2x + 3) <= 0, encontramos os pontos onde a expressão é igual a zero:
  1. x = 0
  2. 2x + 3 = 0 Rightarrow x = -32
Esses pontos dividem a linha dos números em intervalos. Vamos testar cada intervalo:
  • Intervalo 1: x < -32
  • Intervalo 2: -32 < x < 0
  • Intervalo 3: x > 0

Passo 9

Testando cada intervalo:
  1. Para x < -32:
    • Escolha x = -2:
    (-2)(2(-2) + 3) = (-2)(-4 + 3) = (-2)(-1) = 2 > 0
    Não satisfaz a inequação.
  2. Para -32 < x < 0:
    • Escolha x = -1:
    (-1)(2(-1) + 3) = (-1)(-2 + 3) = (-1)(1) = -1 <= 0
    Satisfaz a inequação.
  3. Para x > 0:
    • Escolha x = 1:
    (1)(2(1) + 3) = (1)(2 + 3) = 5 > 0
    Não satisfaz a inequação.

Passo 10

Então, a solução da segunda inequação é:
-32 <= x <= 0

Resposta

A solução da inequação |2x^2 + 3x + 3| <= 3 é:
-32 <= x <= 0

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