Resolva as inequações do 1^{\underline{\circ}} grau.
\frac{x-4}{2 x+10}<0

Passo 1

Vou listar claramente o que o problema dá e o que pede.
O enunciado dá a inequação racional
\frac{x-4}{2x+10}<0.
O que se pede: encontrar todos os valores de x que tornam a fração estritamente negativa. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O numerador é x-4.
  • O denominador é 2x+10.
  • A fração só está definida quando o denominador for diferente de zero, ou seja 2x+10\neq0.

Passo 2

Primeiro objetivo: encontrar os pontos críticos onde o sinal da expressão pode mudar. Esses pontos são:
  • as raízes do numerador (onde a fração pode ser zero),
  • as raízes do denominador (onde a expressão é indefinida).
Calcular essas raízes:
Raiz do numerador:
x-4=0 \quad\Rightarrow\quad x=4.
Raiz do denominador:
2x+10=0 \quad\Rightarrow\quad 2x=-10 \quad\Rightarrow\quad x=-5.
Observação importante: em x=-5 a expressão não existe (divisão por zero), logo esse ponto não pode pertencer à solução; em x=4 a fração vale zero, mas a inequação pede estritamente menor que zero, então x=4 também não pertence à solução.

Passo 3

Agora vamos analisar o sinal da fração em cada intervalo determinado pelos pontos críticos x=-5 e x=4. Esses pontos dividem a reta em três intervalos:
(-\infty,-5),\qquad (-5,4),\qquad (4,\infty).
Técnica usada: o sinal de uma fração \dfrac{A}{B} é determinado pelos sinais de A e B. Se A e B têm sinais iguais, a fração é positiva; se têm sinais opostos, a fração é negativa. Não é necessário calcular valores exatos da fração, apenas o sinal do numerador e do denominador em cada intervalo.

Passo 4

Determinar o sinal do numerador x-4 em cada intervalo:
  • Para x<4 temos x-4<0.
  • Para x>4 temos x-4>0.
Em termos dos intervalos:
  • Em (-\infty,-5): x-4<0.
  • Em (-5,4): x-4<0.
  • Em (4,\infty): x-4>0.

Passo 5

Determinar o sinal do denominador 2x+10 em cada intervalo:
Resolver o sinal: 2x+10=2(x+5). Logo o fator 2 é sempre positivo e o sinal depende de x+5.
  • Para x<-5 temos x+5<0 então 2x+10<0.
  • Para x>-5 temos x+5>0 então 2x+10>0.
Em termos dos intervalos:
  • Em (-\infty,-5): 2x+10<0.
  • Em (-5,4): 2x+10>0.
  • Em (4,\infty): 2x+10>0.

Passo 6

Combinar os sinais do numerador e do denominador para cada intervalo e ver onde a fração é negativa.
  • Em (-\infty,-5): numerador <0, denominador <0 \Rightarrow fração >0. Não satisfaz \,<0.
  • Em (-5,4): numerador <0, denominador >0 \Rightarrow fração <0. Satisfaz \,<0.
  • Em (4,\infty): numerador >0, denominador >0 \Rightarrow fração >0. Não satisfaz \,<0.
Lembrando: pontos finais x=-5 e x=4 não entram. x=-5 é excluído por indefinição; x=4 é excluído porque torna a fração igual a zero e a desigualdade é estrita.

Passo 7

Conclusão: a única parte da reta onde a inequação \dfrac{x-4}{2x+10}<0 é verdadeira é o intervalo aberto (-5,4).

Resposta

(-5,4)

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