Resolva as inequações do
grau.
Passo 1
Vou listar claramente o que o problema dá e o que pede.
O enunciado dá a inequação racional
O que se pede: encontrar todos os valores de
que tornam a fração estritamente negativa. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O numerador é
. - O denominador é
. - A fração só está definida quando o denominador for diferente de zero, ou seja
.
Passo 2
Primeiro objetivo: encontrar os pontos críticos onde o sinal da expressão pode mudar. Esses pontos são:
- as raízes do numerador (onde a fração pode ser zero),
- as raízes do denominador (onde a expressão é indefinida).
Calcular essas raízes:
Raiz do numerador:
Raiz do denominador:
Observação importante: em
a expressão não existe (divisão por zero), logo esse ponto não pode pertencer à solução; em
a fração vale zero, mas a inequação pede estritamente menor que zero, então
também não pertence à solução.
Passo 3
Agora vamos analisar o sinal da fração em cada intervalo determinado pelos pontos críticos
e
. Esses pontos dividem a reta em três intervalos:
Técnica usada: o sinal de uma fração
é determinado pelos sinais de
e
. Se
e
têm sinais iguais, a fração é positiva; se têm sinais opostos, a fração é negativa. Não é necessário calcular valores exatos da fração, apenas o sinal do numerador e do denominador em cada intervalo.
Passo 4
Determinar o sinal do numerador
em cada intervalo:
- Para
temos . - Para
temos .
Em termos dos intervalos:
- Em
: . - Em
: . - Em
: .
Passo 5
Determinar o sinal do denominador
em cada intervalo:
Resolver o sinal:
. Logo o fator
é sempre positivo e o sinal depende de
.
- Para
temos então . - Para
temos então .
Em termos dos intervalos:
- Em
: . - Em
: . - Em
: .
Passo 6
Combinar os sinais do numerador e do denominador para cada intervalo e ver onde a fração é negativa.
- Em
: numerador , denominador fração . Não satisfaz . - Em
: numerador , denominador fração . Satisfaz . - Em
: numerador , denominador fração . Não satisfaz .
Lembrando: pontos finais
e
não entram.
é excluído por indefinição;
é excluído porque torna a fração igual a zero e a desigualdade é estrita.
Passo 7
Conclusão: a única parte da reta onde a inequação
é verdadeira é o intervalo aberto
.