Pesquisadores do Sirius estão calibrando uma nova linha de luz. Durante os testes, um feixe de elétrons entra no setor principal de aceleração e sofre um rápido freio magnético transitório antes que o campo elétrico assuma o controle da trajetória. A velocidade v do feixe obedece à equação diferencial
t \frac{d v}{d t}+4 v=6 t^{2}-5 t
Identifique a ordem desta equação diferencial e justifique se ela é linear ou nāo. Em seguida, encontre a sunçāo geral que descreve a velocidade do feixe de elétrons ao longo do tempo. Por fim, sabendo que os sensores registraram uma velocidade de 1 milímetro por nanossegundo ( \mathrm{mm} / \mathrm{ns} ) no instante t=1, determine a solução particular que modela o comportamento do feixe neste experimento. Calcule qual será a velocidade do feixe exatos 5 nanossegundos após o início do teste.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
t\frac{dv}{dt}+4v=6t^{2}-5t
e pede três coisas:
  • Identificar a ordem da equação e justificar se ela é linear ou não.
  • Encontrar a solução geral v(t) (a família de soluções).
  • Usando o dado experimental v(1)=1 (unidade \mathrm{mm}/\mathrm{ns}), determinar a solução particular e calcular a velocidade no instante t=5 (ou seja, 5 ns após o início).
Informações relevantes fornecidas:
  • A variável independente é t (tempo) e a dependente é v(t) (velocidade).
  • Há um fator multiplicativo t na derivada, portanto a equação está escrita de forma que é preciso lembrar que não podemos dividir por t se t=0. Como os dados experimentais usam t=1, vamos trabalhar no domínio t>0.

Passo 2

Ordem: “ordem” significa o maior número de derivadas da função que aparece na equação. Aqui aparece apenas \dfrac{dv}{dt}, isto é, derivada de primeira ordem. Logo a equação é de ordem 1.
Linearidade: uma equação diferencial é linear quando a função desconhecida e suas derivadas aparecem apenas de forma linear (coeficientes podem depender de t, mas não podemos ter termos como v^{2}, \sin v, v\cdot dv/dt, etc.). A equação dada é
t\frac{dv}{dt}+4v=6t^{2}-5t,
onde \dfrac{dv}{dt} e v aparecem multiplicados por funções de t (respectivamente por t e por 4) e não há potências ou funções não-lineares de v. Portanto a equação é linear. Conclusão: é uma equação diferencial linear de primeira ordem.

Passo 3

Vamos resolver a equação passo a passo com o método do fator integrante (integrating factor). Primeiro colocamos a equação na forma padrão dividindo por t (assumindo t\neq0, e de fato usaremos t>0):
\frac{dv}{dt}+\frac{4}{t}v=6t-5.
A forma padrão é \dfrac{dv}{dt}+p(t)v=q(t), com aqui p(t)=\dfrac{4}{t} e q(t)=6t-5.
Fator integrante: define-se
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right)=\exp\!\left(\int \frac{4}{t}\,dt\right).
Calcule o integral:
\int \frac{4}{t}\,dt=4\ln t=\ln\big(t^{4}\big),
portanto (para t>0)
\mu(t)=e^{\ln(t^{4})}=t^{4}.
Multiplicando a equação padrão por \mu(t)=t^{4} obtemos
t^{4}\frac{dv}{dt}+t^{4}\frac{4}{t}v = t^{4}(6t-5).
Simplificando o segundo termo t^{4}\cdot\frac{4}{t}v = 4t^{3}v, mas o truque do fator integrante é observar que o lado esquerdo é a derivada do produto \mu(t)v(t):
\frac{d}{dt}\big(t^{4}v\big)=t^{4}(6t-5)=6t^{5}-5t^{4}.
Agora integramos ambos os lados em relação a t:
t^{4}v=\int (6t^{5}-5t^{4})\,dt.
Calcule a integral do lado direito:
\int 6t^{5}\,dt=6\cdot\frac{t^{6}}{6}=t^{6},\qquad \int -5t^{4}\,dt=-5\cdot\frac{t^{5}}{5}=-t^{5}.
Portanto
t^{4}v=t^{6}-t^{5}+C,
onde C é a constante de integração. Isolando v,
v(t)=t^{2}-t+C\,t^{-4}.
Essa é a solução geral da equação diferencial (válida em intervalos onde t\neq0, aqui consideramos t>0).

Passo 4

Agora aplicamos a condição inicial medida: v(1)=1 (unidade \mathrm{mm}/\mathrm{ns}). Substituindo t=1 na solução geral:
v(1)=1^{2}-1+C\cdot 1^{-4}=1-1+C=C.
Como v(1)=1, obtemos C=1. Assim a solução particular que modela o experimento é
v(t)=t^{2}-t+t^{-4}.

Passo 5

Calcular a velocidade no instante t=5. Substituindo t=5 na solução particular:
v(5)=5^{2}-5+5^{-4}=25-5+\frac{1}{625}=20+\frac{1}{625}.
Avalie \dfrac{1}{625}=0{,}0016. Portanto
v(5)=20{,}0016\quad\text{(unidade: }\mathrm{mm}/\mathrm{ns}\text{)}.

Passo 6

Observações finais rápidas (úteis para a prova):
  • A solução encontrada é válida para t>0 porque dividimos por t e usamos \ln t. O ponto t=0 é singular para a equação original.
  • Método usado (fator integrante) é o procedimento padrão para ODEs lineares de primeira ordem: converter para \dfrac{dv}{dt}+p(t)v=q(t), calcular \mu(t)=e^{\int p(t)dt}, multiplicar, reconhecer a derivada do produto e integrar.

Resposta

Ordem: 1; linear.
Solução geral: v(t)=t^{2}-t+C\,t^{-4}, C\in\mathbb{R}.
Solução particular com v(1)=1: v(t)=t^{2}-t+t^{-4}.
Velocidade em t=5: v(5)=20{,}0016\\ \mathrm{mm}/\mathrm{ns}.

Exercícios relacionados