Pesquisadores do Sirius estão calibrando uma nova linha de luz. Durante os testes, um feixe de elétrons entra no setor principal de aceleração e sofre um rápido freio magnético transitório antes que o campo elétrico assuma o controle da trajetória. A velocidade
do feixe obedece à equação diferencial
Identifique a ordem desta equação diferencial e justifique se ela é linear ou nāo. Em seguida, encontre a sunçāo geral que descreve a velocidade do feixe de elétrons ao longo do tempo. Por fim, sabendo que os sensores registraram uma velocidade de 1 milímetro por nanossegundo (
) no instante
, determine a solução particular que modela o comportamento do feixe neste experimento. Calcule qual será a velocidade do feixe exatos 5 nanossegundos após o início do teste.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede três coisas:
- Identificar a ordem da equação e justificar se ela é linear ou não.
- Encontrar a solução geral
(a família de soluções). - Usando o dado experimental
(unidade ), determinar a solução particular e calcular a velocidade no instante (ou seja, 5 ns após o início).
Informações relevantes fornecidas:
- A variável independente é
(tempo) e a dependente é (velocidade). - Há um fator multiplicativo
na derivada, portanto a equação está escrita de forma que é preciso lembrar que não podemos dividir por se . Como os dados experimentais usam , vamos trabalhar no domínio .
Passo 2
Ordem: “ordem” significa o maior número de derivadas da função que aparece na equação. Aqui aparece apenas
, isto é, derivada de primeira ordem. Logo a equação é de ordem 1.
Linearidade: uma equação diferencial é linear quando a função desconhecida e suas derivadas aparecem apenas de forma linear (coeficientes podem depender de
, mas não podemos ter termos como
,
,
, etc.). A equação dada é
onde
e
aparecem multiplicados por funções de
(respectivamente por
e por
) e não há potências ou funções não-lineares de
. Portanto a equação é linear. Conclusão: é uma equação diferencial linear de primeira ordem.
Passo 3
Vamos resolver a equação passo a passo com o método do fator integrante (integrating factor). Primeiro colocamos a equação na forma padrão dividindo por
(assumindo
, e de fato usaremos
):
A forma padrão é
, com aqui
e
.
Fator integrante: define-se
Calcule o integral:
portanto (para
)
Multiplicando a equação padrão por
obtemos
Simplificando o segundo termo
, mas o truque do fator integrante é observar que o lado esquerdo é a derivada do produto
:
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
Calcule a integral do lado direito:
Portanto
onde
é a constante de integração. Isolando
,
Essa é a solução geral da equação diferencial (válida em intervalos onde
, aqui consideramos
).
Passo 4
Agora aplicamos a condição inicial medida:
(unidade
). Substituindo
na solução geral:
Como
, obtemos
. Assim a solução particular que modela o experimento é
Passo 5
Calcular a velocidade no instante
. Substituindo
na solução particular:
Avalie
. Portanto
Passo 6
Observações finais rápidas (úteis para a prova):
- A solução encontrada é válida para
porque dividimos por e usamos . O ponto é singular para a equação original. - Método usado (fator integrante) é o procedimento padrão para ODEs lineares de primeira ordem: converter para
, calcular , multiplicar, reconhecer a derivada do produto e integrar.
Resposta
Ordem:
; linear.
Solução geral: ,
.
Solução particular com :
.
Velocidade em :
.
Solução geral:
Solução particular com
Velocidade em