Pesquisadores de um laboratório de eletromagnetismo estão mapeando as linhas de campo em torno de um novo material. A geometria do campo é descrita por curvas equipotenciais no plano x y que satisfazem a seguinte equação diferencial
\left(e^{x+y}+y e^{y}\right) d x+\left(x e^{y}-1\right) d y=0
Verifique se esta EDO é exata. Caso não seja, determine um fator integrante apropriado para torná-la exata e encontre a função que descreve a solução geral. Por fim, sabendo que os sensores detectaram uma linha de campo passando exatamente pela coordenada (0,-1), determine a equação da curva equipotencial particular para esta medição.

Passo 1

Vamos organizar direitinho o que o enunciado nos deu e o que nos pede.
  • A equação diferencial dada é
\left(e^{x+y}+y e^{y}\right) d x+\left(x e^{y}-1\right) d y=0.
  • Quero verificar se essa equação é exata.
  • Se não for exata, determinar um fator integrante que dependa só de x ou só de y (se possível) para torná‑la exata.
  • Encontrar a função potencial (a função cujo diferencial dá a equação exata) e assim a solução geral implícita.
  • Usando a condição de que a curva passa por (0,-1), obter a equação da curva equipotencial particular.
Informações úteis que extraí: os coeficientes são
M(x,y)=e^{x+y}+y e^{y},\qquad N(x,y)=x e^{y}-1.

Passo 2

O que é uma equação exata? Uma equação na forma
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0
é exata num domínio se existe uma função \Phi(x,y) tal que \partial \Phi/\partial x=M e \partial \Phi/\partial y=N. Uma maneira prática de testar é checar se as derivadas parciais cruzadas coincidem:
\frac{\partial M}{\partial y}\overset{?}{=}\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculemos \partial M/\partial y passo a passo.
M(x,y)=e^{x+y}+y e^{y}.
  • Derivando e^{x+y} em relação a y obtém‑se e^{x+y}.
  • Derivando y e^{y} em relação a y usa‑se produto: \frac{d}{dy}(y e^{y})=e^{y}+y e^{y}=(1+y)e^{y}.
Portanto
\frac{\partial M}{\partial y}=e^{x+y}+(1+y)e^{y}.
Agora calculemos \partial N/\partial x.
N(x,y)=x e^{y}-1.
Derivando em relação a x temos
\frac{\partial N}{\partial x}=e^{y}.
Comparando:
\frac{\partial M}{\partial y}=e^{x+y}+(1+y)e^{y}\quad\text{e}\quad \frac{\partial N}{\partial x}=e^{y},
essas expressões não são iguais em geral, logo a equação NÃO é exata.

Passo 3

Vamos buscar um fator integrante simples. Há dois testes comuns:
  • se \dfrac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N} depende apenas de x, existe um fator integrante \mu(x);
  • se \dfrac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M} depende apenas de y, existe um fator integrante \mu(y).
Calculemos a segunda razão porque parece promissora. Primeiro a diferença
\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}=e^{y}-\bigl(e^{x+y}+(1+y)e^{y}\bigr).
Agrupando termos em e^{y}:
\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}=-e^{x+y}-y e^{y}=-e^{y}\bigl(e^{x}+y\bigr).
E lembrando que M(x,y)=e^{x+y}+y e^{y}=e^{y}(e^{x}+y), temos então
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M} =\frac{-e^{y}(e^{x}+y)}{e^{y}(e^{x}+y)}=-1.
Observe que esse quociente é igual a -1, uma constante que depende só de y (na verdade independe até de y). Logo existe um fator integrante que é função somente de y.
Se \dfrac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M}=g(y), então um fator integrante \mu(y) satisfaz
\frac{d\ln \mu}{dy}=g(y).
Aqui g(y)=-1, portanto
\frac{d\ln \mu}{dy}=-1\quad\Rightarrow\quad \ln \mu(y)=-y+C\quad\Rightarrow\quad \mu(y)=e^{-y}\cdot e^{C}.
Podemos absorver a constante multiplicativa e^{C} na constante de integração final, então podemos escolher
\mu(y)=e^{-y}.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original por \mu(y)=e^{-y}. Os novos coeficientes são
\widetilde M(x,y)=\mu(y)M(x,y)=(e^{x+y}+y e^{y})e^{-y}=e^{x}+y,
\widetilde N(x,y)=\mu(y)N(x,y)=(x e^{y}-1)e^{-y}=x-e^{-y}.
A equação transformada é
\bigl(e^{x}+y\bigr)\,dx+\bigl(x-e^{-y}\bigr)\,dy=0.

Passo 5

Verifiquemos que a equação transformada é exata:
\frac{\partial \widetilde M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(e^{x}+y)=1, \qquad \frac{\partial \widetilde N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x-e^{-y})=1.
Como as derivadas cruzadas coincidem, a equação é exata agora. Ótimo!

Passo 6

Procuremos a função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=\widetilde M=e^{x}+y, \qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=\widetilde N=x-e^{-y}.
Integramos \widetilde M em relação a x (tratando y como constante):
\Phi(x,y)=\int (e^{x}+y)\,dx = e^{x}+x y + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (apareceu porque ao integrar em x a “constante” de integração pode depender de y).
Agora derivamos essa expressão em relação a y e igualamos a \widetilde N:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=x + h'(y)\overset{!}{=}x-e^{-y}.
Daí obtemos
h'(y)=-e^{-y}.
Integrando em y:
h(y)=\int -e^{-y}\,dy = e^{-y}+C_1,
pois \dfrac{d}{dy}e^{-y}=-e^{-y}.
Substituindo h(y) em \Phi obtemos (podendo agrupar constantes):
\Phi(x,y)=e^{x}+x y + e^{-y}+C_1.
A solução implícita geral da equação exata (ou seja, a família de curvas equipotenciais) é
e^{x}+x y + e^{-y}=C,
onde C é constante arbitrária (absorvi C_1 em C).

Passo 7

Agora aplicamos a condição de que a curva passa por (0,-1). Substituindo x=0 e y=-1 na solução geral:
e^{0}+0\cdot(-1)+e^{-(-1)}=1+e.
Logo a constante para essa curva particular é C=1+e.
Portanto a curva equipotencial particular que passa por (0,-1) é
e^{x}+x y + e^{-y}=1+e.

Resposta

A EDO não é exata.
Fator integrante: \mu(y)=e^{-y}.
Solução geral implícita: e^{x}+x y + e^{-y}=C.
Curva particular passando por (0,-1): e^{x}+x y + e^{-y}=1+e.

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