Pesquisadores de um laboratório de eletromagnetismo estão mapeando as linhas de campo em torno de um novo material. A geometria do campo é descrita por curvas equipotenciais no plano
que satisfazem a seguinte equação diferencial
Verifique se esta EDO é exata. Caso não seja, determine um fator integrante apropriado para torná-la exata e encontre a função que descreve a solução geral. Por fim, sabendo que os sensores detectaram uma linha de campo passando exatamente pela coordenada
, determine a equação da curva equipotencial particular para esta medição.
Passo 1
Vamos organizar direitinho o que o enunciado nos deu e o que nos pede.
- A equação diferencial dada é
- Quero verificar se essa equação é exata.
- Se não for exata, determinar um fator integrante que dependa só de
ou só de (se possível) para torná‑la exata. - Encontrar a função potencial (a função cujo diferencial dá a equação exata) e assim a solução geral implícita.
- Usando a condição de que a curva passa por
, obter a equação da curva equipotencial particular.
Informações úteis que extraí: os coeficientes são
Passo 2
O que é uma equação exata? Uma equação na forma
é exata num domínio se existe uma função
tal que
e
. Uma maneira prática de testar é checar se as derivadas parciais cruzadas coincidem:
Calculemos
passo a passo.
- Derivando
em relação a obtém‑se . - Derivando
em relação a usa‑se produto: .
Portanto
Agora calculemos
.
Derivando em relação a
temos
Comparando:
essas expressões não são iguais em geral, logo a equação NÃO é exata.
Passo 3
Vamos buscar um fator integrante simples. Há dois testes comuns:
- se
depende apenas de , existe um fator integrante ; - se
depende apenas de , existe um fator integrante .
Calculemos a segunda razão porque parece promissora. Primeiro a diferença
Agrupando termos em
:
E lembrando que
, temos então
Observe que esse quociente é igual a
, uma constante que depende só de
(na verdade independe até de
). Logo existe um fator integrante que é função somente de
.
Se
, então um fator integrante
satisfaz
Aqui
, portanto
Podemos absorver a constante multiplicativa
na constante de integração final, então podemos escolher
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original por
. Os novos coeficientes são
A equação transformada é
Passo 5
Verifiquemos que a equação transformada é exata:
Como as derivadas cruzadas coincidem, a equação é exata agora. Ótimo!
Passo 6
Procuremos a função potencial
tal que
Integramos
em relação a
(tratando
como constante):
onde
é uma função arbitrária de
(apareceu porque ao integrar em
a “constante” de integração pode depender de
).
Agora derivamos essa expressão em relação a
e igualamos a
:
Daí obtemos
Integrando em
:
pois
.
Substituindo
em
obtemos (podendo agrupar constantes):
A solução implícita geral da equação exata (ou seja, a família de curvas equipotenciais) é
onde
é constante arbitrária (absorvi
em
).
Passo 7
Agora aplicamos a condição de que a curva passa por
. Substituindo
e
na solução geral:
Logo a constante para essa curva particular é
.
Portanto a curva equipotencial particular que passa por
é
Resposta
A EDO não é exata.
Fator integrante: .
Solução geral implícita: .
Curva particular passando por :
.
Fator integrante:
Solução geral implícita:
Curva particular passando por