Resolva as inequações do
grau.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede: resolver a inequação para encontrar todos os valores de
que satisfazem a condição. - Dado: a inequação
- Informação implícita: a variável
é real, ou seja procuramos solução em .
Passo 2
Identificar os pontos críticos (onde cada fator é zero). Esses pontos dividem a reta em intervalos onde o sinal do produto é constante.
- Resolver
:
- Resolver
:
Portanto os pontos críticos são
e
.
Passo 3
Entender como determinar o sinal do produto em cada intervalo: se cada fator é positivo ou negativo, o produto segue as regras de sinais (positivo·positivo = positivo, negativo·negativo = positivo, positivo·negativo = negativo). Vamos analisar os três intervalos determinados pelos pontos críticos:
,
e
. Em cada intervalo escolhemos um ponto-teste simples.
Intervalo
. Escolhe
:
-
(negativo). -
(positivo).
Produto: negativopositivo = negativo. Então para o produto é negativo e não satisfaz .
Ponto
: pelo menos um fator é zero (
), logo o produto é
. Como a inequação é
,
é solução.
Intervalo
. Escolhe
:
-
(negativo). -
(negativo).
Produto: negativonegativo = positivo. Então todo em satisfaz a inequação.
Ponto
:
, produto
. Como
,
é solução.
Intervalo
. Escolhe
:
-
(positivo). -
(negativo).
Produto: positivonegativo = negativo. Então para o produto é negativo e não satisfaz a inequação.
Passo 4
Juntando os resultados: o produto é
exatamente nos pontos onde é zero (
e
) e em todo o intervalo entre eles onde o produto é positivo. Logo a solução é o intervalo fechado entre 1 e 3.
Observação sobre os extremos: zeros dos fatores tornam o produto igual a zero; como a inequação permite igualdade (
), incluímos
e
.
Passo 5
Apresento também um modo algébrico alternativo (opcional) que confirma o mesmo:
A inequação fica
Multiplicando por
(lembre: ao multiplicar uma inequação por um número negativo o sentido da desigualdade inverte) obtemos
Agora procura-se onde o produto
é
, isto é, não-positivo; isso ocorre exatamente entre as raízes
e
, incluindo-as, novamente levando à solução
.
Passo 6
Exemplo rápido para fixar a ideia: para
as raízes são
e
. O produto é negativo entre as raízes, então a solução é
. A lógica é a mesma usada acima.