Resolva as inequações do 1^{\underline{\circ}} grau.
(2 x-6)(-x+1) \geq 0

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede: resolver a inequação para encontrar todos os valores de x que satisfazem a condição.
  • Dado: a inequação
(2x-6)(-x+1)\geq 0.
  • Informação implícita: a variável x é real, ou seja procuramos solução em \mathbb{R}.

Passo 2

Identificar os pontos críticos (onde cada fator é zero). Esses pontos dividem a reta em intervalos onde o sinal do produto é constante.
  • Resolver 2x-6=0:
2x-6=0 \quad\Rightarrow\quad 2x=6 \quad\Rightarrow\quad x=3.
  • Resolver -x+1=0:
-x+1=0 \quad\Rightarrow\quad -x=-1 \quad\Rightarrow\quad x=1.
Portanto os pontos críticos são \,x=1 e \,x=3.

Passo 3

Entender como determinar o sinal do produto em cada intervalo: se cada fator é positivo ou negativo, o produto segue as regras de sinais (positivo·positivo = positivo, negativo·negativo = positivo, positivo·negativo = negativo). Vamos analisar os três intervalos determinados pelos pontos críticos: (-\infty,1), (1,3) e (3,\infty). Em cada intervalo escolhemos um ponto-teste simples.
Intervalo (-\infty,1). Escolhe x=0:
  • 2x-6=2\cdot 0-6=-6 (negativo).
  • -x+1=-0+1=1 (positivo).
    Produto: negativo \times positivo = negativo. Então para x<1 o produto é negativo e não satisfaz \geq 0.
Ponto x=1: pelo menos um fator é zero ( -x+1=0), logo o produto é 0. Como a inequação é \geq 0, x=1 é solução.
Intervalo (1,3). Escolhe x=2:
  • 2x-6=2\cdot2-6=-2 (negativo).
  • -x+1=-2+1=-1 (negativo).
    Produto: negativo \times negativo = positivo. Então todo x em (1,3) satisfaz a inequação.
Ponto x=3: 2x-6=0, produto 0. Como \geq 0, x=3 é solução.
Intervalo (3,\infty). Escolhe x=4:
  • 2x-6=2\cdot4-6=2 (positivo).
  • -x+1=-4+1=-3 (negativo).
    Produto: positivo \times negativo = negativo. Então para x>3 o produto é negativo e não satisfaz a inequação.

Passo 4

Juntando os resultados: o produto é \geq 0 exatamente nos pontos onde é zero ( x=1 e x=3) e em todo o intervalo entre eles onde o produto é positivo. Logo a solução é o intervalo fechado entre 1 e 3.
Observação sobre os extremos: zeros dos fatores tornam o produto igual a zero; como a inequação permite igualdade ( \geq), incluímos x=1 e x=3.

Passo 5

Apresento também um modo algébrico alternativo (opcional) que confirma o mesmo:
(2x-6)(-x+1)= -2(x-3)(x-1).
A inequação fica
-2(x-3)(x-1)\geq 0.
Multiplicando por -1 (lembre: ao multiplicar uma inequação por um número negativo o sentido da desigualdade inverte) obtemos
2(x-3)(x-1)\leq 0.
Agora procura-se onde o produto (x-3)(x-1) é \leq 0, isto é, não-positivo; isso ocorre exatamente entre as raízes 1 e 3, incluindo-as, novamente levando à solução [1,3].

Passo 6

Exemplo rápido para fixar a ideia: para (x-2)(x+4)<0 as raízes são 2 e -4. O produto é negativo entre as raízes, então a solução é (-4,2). A lógica é a mesma usada acima.

Resposta

[1,3]

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