Determine as equações para as seguintes retas e faça o esboço do gráfico identificando os interceptos com os eixos coordenados:
Intercepta o eixo x no ponto (3,0) e o eixo y no ponto (0,-2 / 3)

Passo 1

O enunciado dá duas informações claras (os pontos foram extraídos do enunciado):
  • Intercepta o eixo x no ponto (3,0).
  • Intercepta o eixo y no ponto \bigl(0,-\tfrac{2}{3}\bigr).
O que se pede:
  • Determinar a(s) equação(ões) da reta que passa por esses dois pontos.
  • Fazer um esboço do gráfico identificando os interceptos com os eixos.

Passo 2

Conceitos básicos que vamos usar (explicadinho, passo a passo):
  • Duas coisas que definem uma reta: dois pontos diferentes. Aqui já temos dois pontos, então a reta está totalmente determinada.
  • Declive (inclinação, slope) da reta: dado dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2), o declive m é
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Isso mede quanto a reta sobe (se m>0) ou desce (se m<0) quando avançamos uma unidade em x.
  • Forma ponto-inclinação da reta: usando um ponto (x_1,y_1) e o declive m,
y-y_1=m(x-x_1).
  • Forma reduzida (ou forma inclinada) é y=mx+b, onde b é o intercepto em y (o valor de y quando x=0).

Passo 3

Calcular o declive usando os dois pontos dados. Escolho (x_1,y_1)=(3,0) e (x_2,y_2)=\bigl(0,-\tfrac{2}{3}\bigr). Então
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{-\tfrac{2}{3}-0}{0-3}=\frac{-\tfrac{2}{3}}{-3}.
Agora simplifico a fração:
\frac{-\tfrac{2}{3}}{-3}=\left(-\tfrac{2}{3}\right)\cdot\left(-\tfrac{1}{3}\right)=\tfrac{2}{9}.
Portanto o declive é m=\tfrac{2}{9}. Observação: é positivo e pequeno, ou seja, a reta sobe lentamente da esquerda para a direita.

Passo 4

Usar a forma ponto-inclinação com o ponto (3,0):
y-0=\tfrac{2}{9}\,(x-3).
Ou seja
y=\tfrac{2}{9}x-\tfrac{2}{9}\cdot 3.
Calculo o produto \tfrac{2}{9}\cdot 3=\tfrac{6}{9}=\tfrac{2}{3}. Assim
y=\tfrac{2}{9}x-\tfrac{2}{3}.
Esta é a forma reduzida (slope-intercept). Note que o termo constante -\tfrac{2}{3} é exatamente o intercepto em y, como era dado.

Passo 5

Converter para a forma inteira/normal (sem frações) — útil em provas e para checar:
Multiplico ambos os lados por 9 para eliminar denominadores:
9y=2x-6.
Reorganizando para a forma Ax+By=C:
2x-9y=6.
Outra forma equivalente é 2x-9y-6=0. Ambas representam a mesma reta.

Passo 6

Como esboçar o gráfico (passo a passo para desenhar rápido na prova):
  • Marque os eixos x e y.
  • Coloque o ponto (3,0) no eixo x.
  • Coloque o ponto \bigl(0,-\tfrac{2}{3}\bigr) no eixo y (um pouco abaixo da origem).
  • Trace a reta que passa por esses dois pontos; como m=\tfrac{2}{9} a reta sobe muito lentamente: ao andar 9 unidades em x ela sobe 2 unidades em y.
  • Se quiser um terceiro ponto para guiar o traço, escolha x=9: então
y=\tfrac{2}{9}\cdot 9-\tfrac{2}{3}=2-\tfrac{2}{3}=\tfrac{4}{3},
logo o ponto (9,\tfrac{4}{3}) também está na reta. Trace uma linha reta passando por (3,0), (0,-\tfrac{2}{3}) e (9,\tfrac{4}{3}). Identifique os interceptos no desenho.
Dica rápida para prova: há também a forma intercepto da reta \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1 onde a e b são interceptos. Substituindo a=3 e b=-\tfrac{2}{3} e simplificando chega-se à mesma equação.

Resposta

y=\dfrac{2}{9}x-\dfrac{2}{3}
2x-9y=6

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