Resolva as inequações:
x^3+3 x^2>4 x

Passo 1

Nesse exercício a gente precisa resolver a inequação do terceiro grau x^3 + 3x^2 > 4x. O conteúdo é inequação polinomial: vamos precisar passar tudo pra um lado, fatorar o polinômio e estudar o sinal dos fatores.

Passo 2

Primeiro, trazemos todos os termos para o mesmo lado pra deixar a inequação na forma padrão:
x^3 + 3x^2 - 4x > 0

Passo 3

Agora a gente fatora o polinômio. Primeiramente, fator comum x:
x^3 + 3x^2 - 4x = x,(x^2 + 3x - 4)
Em seguida, fatoramos a quadrática x^2 + 3x - 4 buscando dois números que multiplicam pra -4 e somam pra 3. Eles são 4 e -1, então
x^2 + 3x - 4 = (x + 4)(x - 1)
No final temos
x,(x + 4)(x - 1) > 0

Passo 4

Os zeros desse produto indicam pontos críticos: x = -4, x = 0 e x = 1. Para resolver a inequação, montamos um quadro de sinais dividindo a reta em intervalos entre esses pontos e testamos o sinal de cada fator:
  • Em , escolha x = -5: os fatores têm sinais x<0, x+4<0, x-1<0, então produto é negativo.
  • Em (-4, 0), escolha x = -2: x<0, x+4>0, x-1<0, produto positivo.
  • Em (0, 1), escolha x = 0.5: x>0, x+4>0, x-1<0, produto negativo.
  • Em (1, infty), escolha x = 2: todos fatores positivos, produto positivo.

Passo 5

Como a inequação é estrita ( >!0), a gente não inclui os pontos onde o produto é zero. A solução final é a união dos intervalos onde o produto é positivo.

Resposta

(-4,0)cup(1,infty)

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