Esboce a região do R^2 nos seguintes casos:
(x, y) in R^2 ; x^2+y^2 <= 4, x+y>1

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região do plano definida por x^2+y^2<=4 e x+y>1. O conteúdo é geometria analítica no plano, envolvendo a interseção de um disco de raio 2 com um semiplano. Para resolver precisamos saber como desenhar um disco (ou circunferência) e uma reta, e então encontrar sua interseção.

Passo 2

O conjunto (x,y):x^2+y^2<=4 é o disco de raio 2 centrado na origem. Para desenhar, trace a circunferência
x^2+y^2=4
e sombree a parte interna, pois a desigualdade é “ <=”.

Passo 3

O conjunto (x,y):x+y>1 é o semiplano acima da reta
x+y=1
Reescrevendo como y=1-x, desenhe a reta passando por (1,0) e (0,1) e marque o lado onde y>1-x.

Passo 4

A região pedido é a interseção do disco com esse semiplano, ou seja, os pontos dentro de x^2+y^2<=4 que também satisfazem x+y>1.

Passo 5

Para esboçar melhor, achamos os pontos de interseção entre a reta e o círculo resolvendo
x+y=1x^2+y^2=4
Substituindo y=1-x em x^2+(1-x)^2=4 vem
2x^2-2x-3=0
Cuja solução é
x=1pmraiz72,, y=1-x=1mpraiz72

Passo 6

No esboço, marque esses dois pontos sobre a circunferência e trace o arco entre eles. Depois, desenhe o segmento de reta unindo-os e sombree a região dentro do disco e acima da reta.

Resposta

A região é a calota do disco de raio 2 ( x^2+y^2<=4) situada no semiplano x+y>1, limitada pelo arco de círculo entre os pontos l(tfrac1+raiz72,tfrac1-raiz72r) e l(tfrac1-raiz72,tfrac1+raiz72r) e pelo segmento de reta que os une.

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