Resolva as inequações:
x-1 <= -1x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação x-1 <= -1x. O conteúdo envolve inequações racionais e vamos precisar conhecer regras de sinais e como combinar termos numa única fração.

Passo 2

Vamos simplificar o lado esquerdo: x-1 = -x. Assim a inequação vira
-x <= -1x

Passo 3

Reescrevendo tudo num único membro, passamos -1x para a esquerda:
-x + 1x <= 0

Passo 4

Para juntar em uma fração só, colocamos sobre o mesmo denominador x (lembrando que xneq0):
-x = -x^2xRightarrow -x + 1x = -x^2 + 1x = 1 - x^2x

Passo 5

Agora estudamos o sinal de 1 - x^2x <= 0. Factorizamos o numerador:
1 - x^2 = (1 - x)(1 + x)

Passo 6

Temos pontos críticos em x = -1, x = 0 (domínio exclui) e x = 1. Vamos analisar os sinais em cada intervalo:
(–∞, –1): numerador (1 - x^2)<0, denominador x<0 ⇒ fração >0
(–1, 0): numerador >0, denominador <0 ⇒ fração <0
(0, 1): numerador >0, denominador >0 ⇒ fração >0
(1, ∞): numerador <0, denominador >0 ⇒ fração <0

Passo 7

Queremos 1 - x^2x <= 0, ou seja, fração negativa ou zero. Isso acontece em [-1,0) (na extremidade x=-1 dá zero) e em [1,infty) (na extremidade x=1 dá zero, e xneq0 excetuado).

Resposta

x \in [-1,0) \cup [1,\infty)

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