Resolva as inequações
3^{x}>\frac{1}{27}

Passo 1

O enunciado pede resolver a inequação
3^{x}>\frac{1}{27}.
Informações dadas e o que se pede:
  • A expressão envolve uma potência com base 3 e expoente x.
  • O termo do lado direito é \dfrac{1}{27}.
  • Precisamos encontrar todos os valores de x que tornam a desigualdade verdadeira.

Passo 2

Vamos simplificar o lado direito escrevendo \dfrac{1}{27} como uma potência de base 3. Lembre que 27=3^{3}, então
\frac{1}{27}=3^{-3}.
Portanto a inequação fica
3^{x}>3^{-3}.

Passo 3

Agora precisamos usar uma propriedade importante das potências: quando a base é maior que 1 (aqui a base é 3), a função a^{t} é estritamente crescente em t. Em palavras: se a>1 e u e v são números reais, então
a^{u}>a^{v}\quad\Longleftrightarrow\quad u>v.
Uma breve justificativa intuitiva: para a>1 a multiplicação por a aumenta o valor, então aumentar o expoente aumenta o valor da potência.

Passo 4

Aplicando essa propriedade à desigualdade \,3^{x}>3^{-3}\, (com base 3>1), podemos comparar diretamente os expoentes:
x>-3.
Isto é equivalente à desigualdade inicial porque 3^{t} é estritamente crescente.

Passo 5

Outra maneira (equivalente) de ver isso é aplicar logaritmo (qualquer base) nos dois lados. Por exemplo, aplicando o logaritmo natural \ln:
\ln(3^{x})>\ln(3^{-3})\quad\Rightarrow\quad x\ln 3 > -3\ln 3.
Como \ln 3>0, dividindo por \ln 3 preserva o sinal:
x>-3.
As duas abordagens dão o mesmo resultado.

Passo 6

Checagem rápida com exemplos:
  • Se x=0, então 3^{0}=1>\tfrac{1}{27} (verdadeiro).
  • Se x=-4, então 3^{-4}=\tfrac{1}{81}<\tfrac{1}{27} (falso).
    Esses exemplos confirmam que valores maiores que -3 funcionam e menores que -3 não.

Resposta

x>-3

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