Resolva as inequações
Passo 1
O enunciado pede resolver a inequação
Informações dadas e o que se pede:
- A expressão envolve uma potência com base
e expoente . - O termo do lado direito é
. - Precisamos encontrar todos os valores de
que tornam a desigualdade verdadeira.
Passo 2
Vamos simplificar o lado direito escrevendo
como uma potência de base
. Lembre que
, então
Portanto a inequação fica
Passo 3
Agora precisamos usar uma propriedade importante das potências: quando a base é maior que
(aqui a base é
), a função
é estritamente crescente em
. Em palavras: se
e
e
são números reais, então
Uma breve justificativa intuitiva: para
a multiplicação por
aumenta o valor, então aumentar o expoente aumenta o valor da potência.
Passo 4
Aplicando essa propriedade à desigualdade
(com base
), podemos comparar diretamente os expoentes:
Isto é equivalente à desigualdade inicial porque
é estritamente crescente.
Passo 5
Outra maneira (equivalente) de ver isso é aplicar logaritmo (qualquer base) nos dois lados. Por exemplo, aplicando o logaritmo natural
:
Como
, dividindo por
preserva o sinal:
As duas abordagens dão o mesmo resultado.
Passo 6
Checagem rápida com exemplos:
- Se
, então (verdadeiro). - Se
, então (falso).
Esses exemplos confirmam que valores maiores quefuncionam e menores que não.