Determine, na notação de vetores unitários, o campo elétrico gerado por uma fita infinita, de largura D=30 c m \quad e densidade uniforme de carga \sigma=2 \mu C / m^{2}, no ponto p a 50 c m da fita.

Passo 1

O enunciado fornece uma fita (uma faixa plana) infinita no sentido longitudinal, com largura D e densidade superficial de carga uniforme \sigma. Pede-se o campo elétrico no ponto p que se encontra a uma distância perpendicular da fita igual a 50\\ \text{cm}. Dados numéricos (peguei estes valores do enunciado):
  • D = 30\\ \text{cm} = 0{,}30\\ \text{m}.
  • \sigma = 2\\ \mu\text{C/m}^{2} = 2\times10^{-6}\\ \text{C/m}^{2}.
  • distância do ponto p até a fita: z = 50\\ \text{cm} = 0{,}50\\ \text{m}.
O que o problema pede:
  • Determinar o campo elétrico \vec{E} em notação de vetores unitários (ou seja, com um \hat{\imath},\hat{\jmath} ou \hat{k} apropriado), no ponto p.

Passo 2

Escolha de coordenadas e estratégia (sem calcular ainda): colocar a fita no plano z=0, estendendo-se infinitamente na direção y, com a largura no eixo x entre x=-D/2 e x=+D/2. O ponto p fica no eixo z em (0,0,z) com z>0. Por simetria, o campo resultante terá apenas componente perpendicular ( \hat{z}) — os componentes paralelos à fita se cancelam.
Vamos decompor a fita em faixas infinitesimais paralelas ao eixo y. Cada faixa, de largura dx localizada em posição x, tem carga por unidade de comprimento (ao longo de y) igual a
\lambda(x)=\sigma\,dx.
Uma faixa assim é uma linha infinita de carga (ao longo de y), cujo campo em um ponto a distância r da linha tem intensidade
E_{\text{linha}}=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0} r}.
Aqui \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_{0}\approx8{,}85\times10^{-12}\\ \text{F/m}). Vou explicar e usar essa fórmula no passo seguinte.

Passo 3

Explicando a fórmula do campo de uma linha infinita e como obter a componente z:
  • A fórmula \,E_{\text{linha}}=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0} r}\, dá a intensidade do campo elétrico gerado por uma linha infinita de carga com densidade linear \lambda, em um ponto a distância perpendicular r da linha. A direção do campo é radial, saindo da linha se \lambda>0.
  • No nosso ponto, a distância entre a faixa localizada em x e o ponto p(0,0,z) é
r=\sqrt{x^{2}+z^{2}}.
  • A componente dessa contribuição na direção z é o módulo do campo da linha vezes \cos\theta, com \cos\theta = z/r. Portanto a contribuição infinitesimal para o campo na direção z é
dE_{z} = \frac{\lambda(x)}{2\pi\varepsilon_{0} r}\cdot\frac{z}{r} = \frac{\sigma\,dx}{2\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{z}{x^{2}+z^{2}}.
Agora integramos essas contribuições ao longo de x desde -D/2 até +D/2 para obter o campo total E_{z}:
E_{z}=\int_{-D/2}^{D/2} dE_{z} = \frac{\sigma z}{2\pi\varepsilon_{0}} \int_{-D/2}^{D/2} \frac{dx}{x^{2}+z^{2}}.

Passo 4

Calcular a integral analiticamente:
A integral básica é
\int \frac{dx}{x^{2}+z^{2}}=\frac{1}{z}\arctan\!\left(\frac{x}{z}\right).
Aplicando aos limites:
\int_{-D/2}^{D/2} \frac{dx}{x^{2}+z^{2}} = \frac{1}{z}\left[\arctan\!\left(\frac{x}{z}\right)\right]_{-D/2}^{D/2} = \frac{1}{z}\left(\arctan\!\left(\frac{D/2}{z}\right)-\arctan\!\left(-\frac{D/2}{z}\right)\right).
Como \arctan é função ímpar, isso dá \dfrac{2}{z}\arctan\!\left(\dfrac{D/2}{z}\right). Substituindo em E_{z}:
E_{z} = \frac{\sigma z}{2\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{2}{z}\arctan\!\left(\frac{D/2}{z}\right) = \frac{\sigma}{\pi\varepsilon_{0}}\arctan\!\left(\frac{D}{2z}\right).
Portanto o campo elétrico vetorial, apontando ao longo de \hat{z} (para \sigma>0, sai da fita), é
\vec{E} = \frac{\sigma}{\pi\varepsilon_{0}}\arctan\!\left(\frac{D}{2z}\right)\,\hat{z}.

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos e fazemos as conversões (vou mostrar as contas para poder fazer sem calculadora aproximando passos):
  • D=0{,}30\\ \text{m}, z=0{,}50\\ \text{m} então
\frac{D}{2z}=\frac{0{,}30}{2\cdot0{,}50}=\frac{0{,}30}{1{,}00}=0{,}30.
  • \arctan(0{,}30) (em radianos) \approx 0{,}2914568 (aprox. 16{,}70^\circ).
  • Constante:
\pi\varepsilon_{0}\approx 3{,}14159265\times 8{,}854187817\times10^{-12}\\ \text{F/m}\approx 2{,}78\times10^{-11}\\ \text{F/m}.
  • Assim
\frac{\sigma}{\pi\varepsilon_{0}}=\frac{2\times10^{-6}}{2{,}78\times10^{-11}}\approx 7{,}19\times10^{4}\\ \text{N/C (por radiano)}.
Multiplicando pelo \arctan:
E_{z}\approx 7{,}19\times10^{4}\times 0{,}2914568 \approx 2{,}096\times10^{4}\\ \text{N/C}.
Portanto, tomando a direção \hat{z} saindo da fita (pois \sigma>0):
\vec{E}\approx 2{,}10\times10^{4}\,\hat{z}\\ \text{N/C}.

Passo 6

Breve verificação de consistência (bom para a prova): se a largura D crescesse muito ( D\to\infty), temos \arctan(D/(2z))\to\pi/2 e a fórmula reduziria a
\vec{E}\to\frac{\sigma}{\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{\pi}{2} \hat{z}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\,\hat{z},
que é justamente o resultado conhecido para um plano infinito carregado. Isso é um bom sinal de que a expressão está correta.

Resposta

\displaystyle \vec{E}=\frac{\sigma}{\pi\varepsilon_{0}}\arctan\!\left(\frac{D}{2z}\right)\,\hat{z}\approx 2{,}10\times10^{4}\,\hat{z}\\ \text{N/C}

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