Determine, na notação de vetores unitários, o campo elétrico gerado por uma fita infinita, de largura
e densidade uniforme de carga
, no ponto
a
da fita.
Passo 1
O enunciado fornece uma fita (uma faixa plana) infinita no sentido longitudinal, com largura
e densidade superficial de carga uniforme
. Pede-se o campo elétrico no ponto
que se encontra a uma distância perpendicular da fita igual a
. Dados numéricos (peguei estes valores do enunciado):
-
. -
. - distância do ponto
até a fita: .
O que o problema pede:
- Determinar o campo elétrico
em notação de vetores unitários (ou seja, com um ou apropriado), no ponto .
Passo 2
Escolha de coordenadas e estratégia (sem calcular ainda): colocar a fita no plano
, estendendo-se infinitamente na direção
, com a largura no eixo
entre
e
. O ponto
fica no eixo
em
com
. Por simetria, o campo resultante terá apenas componente perpendicular (
) — os componentes paralelos à fita se cancelam.
Vamos decompor a fita em faixas infinitesimais paralelas ao eixo
. Cada faixa, de largura
localizada em posição
, tem carga por unidade de comprimento (ao longo de
) igual a
Uma faixa assim é uma linha infinita de carga (ao longo de
), cujo campo em um ponto a distância
da linha tem intensidade
Aqui
é a permissividade do vácuo (
). Vou explicar e usar essa fórmula no passo seguinte.
Passo 3
Explicando a fórmula do campo de uma linha infinita e como obter a componente
:
-
A fórmula
dá a intensidade do campo elétrico gerado por uma linha infinita de carga com densidade linear , em um ponto a distância perpendicular da linha. A direção do campo é radial, saindo da linha se . -
No nosso ponto, a distância entre a faixa localizada em
e o ponto é
- A componente dessa contribuição na direção
é o módulo do campo da linha vezes , com . Portanto a contribuição infinitesimal para o campo na direção é
Agora integramos essas contribuições ao longo de
desde
até
para obter o campo total
:
Passo 4
Calcular a integral analiticamente:
A integral básica é
Aplicando aos limites:
Como
é função ímpar, isso dá
. Substituindo em
:
Portanto o campo elétrico vetorial, apontando ao longo de
(para
, sai da fita), é
Passo 5
Agora substituímos os valores numéricos e fazemos as conversões (vou mostrar as contas para poder fazer sem calculadora aproximando passos):
-
, então
-
(em radianos) (aprox. ). - Constante:
- Assim
Multiplicando pelo
:
Portanto, tomando a direção
saindo da fita (pois
):
Passo 6
Breve verificação de consistência (bom para a prova): se a largura
crescesse muito (
), temos
e a fórmula reduziria a
que é justamente o resultado conhecido para um plano infinito carregado. Isso é um bom sinal de que a expressão está correta.