Calcule as integrais indefinidas abaixo.
\int \operatorname{arccos} x d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{arccos} x \, dx.
Informações relevantes dadas:
  • A função integranda é \operatorname{arccos} x.
  • Trata-se de uma integral indefinida, logo a resposta virá com uma constante de integração C.
  • A função \operatorname{arccos} x está definida para x\in[-1,1]; a primitiva que encontrarmos vale (pelo menos) nesses valores de x.

Passo 2

Vamos usar a técnica de integração por partes. Vou explicar a ideia claramente: a fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u e v são funções de x, du é a diferencial de u e v é uma primitiva de dv. A estratégia é escolher u de modo que du seja mais simples que u, e escolher dv que seja fácil de integrar. Essa técnica vem da regra do produto para derivadas, aplicada “ao contrário”.

Passo 3

Escolho
u=\operatorname{arccos} x,\qquad dv=dx.
Agora calculo du e v:
  • Para v, uma primitiva de dv=dx é
v=x.
  • Para du, preciso da derivada de \operatorname{arccos} x. Faço uma pequena demonstração: seja y=\operatorname{arccos} x. Então \cos y = x. Diferenciando ambos os lados em relação a x obtemos
-\sin y\;\frac{dy}{dx}=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sin y}.
Como \sin^2 y = 1-\cos^2 y = 1-x^2, temos \sin y = \sqrt{1-x^2} (tomando o sinal adequado no intervalo [0,\pi] onde \operatorname{arccos} varia). Assim
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{arccos} x\big) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
Portanto
du = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx.

Passo 4

Aplico a fórmula de integração por partes:
\int \operatorname{arccos} x\,dx = uv - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
\int \operatorname{arccos} x\,dx = x\operatorname{arccos} x - \int x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)dx.
Simplificando o sinal:
\int \operatorname{arccos} x\,dx = x\operatorname{arccos} x + \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx.

Passo 5

Agora calculo a integral
\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx.
Use substituição para explicar passo a passo: defina
t = 1-x^2.
Então
dt = -2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = -\frac{1}{2}\,dt.
Substituindo na integral:
\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \int \frac{x\,dx}{\sqrt{t}} = \int \frac{-\tfrac{1}{2}dt}{t^{1/2}} = -\tfrac{1}{2}\int t^{-1/2}\,dt.
Integrando:
-\tfrac{1}{2}\int t^{-1/2}\,dt = -\tfrac{1}{2}\cdot \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = -t^{1/2} + C = -\sqrt{t} + C.
Voltando para x:
\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = -\sqrt{1-x^2} + C.

Passo 6

Substituindo esse resultado em (Passo 4) obtemos a primitiva completa:
\int \operatorname{arccos} x\,dx = x\operatorname{arccos} x - \sqrt{1-x^2} + C.
Se quiser confirmar, pode derivar essa expressão e verificar que a derivada é \operatorname{arccos} x. Lembre-se que a igualdade é válida para x\in(-1,1) (e por continuidade nos extremos \pm1 pela extensão adequada).

Resposta

x\operatorname{arccos} x - \sqrt{1-x^2} + C

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