Calcule as integrais indefinidas abaixo.
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas:
- A função integranda é
. - Trata-se de uma integral indefinida, logo a resposta virá com uma constante de integração
. - A função
está definida para ; a primitiva que encontrarmos vale (pelo menos) nesses valores de .
Passo 2
Vamos usar a técnica de integração por partes. Vou explicar a ideia claramente: a fórmula de integração por partes é
onde
e
são funções de
,
é a diferencial de
e
é uma primitiva de
. A estratégia é escolher
de modo que
seja mais simples que
, e escolher
que seja fácil de integrar. Essa técnica vem da regra do produto para derivadas, aplicada “ao contrário”.
Passo 3
Escolho
Agora calculo
e
:
- Para
, uma primitiva de é
- Para
, preciso da derivada de . Faço uma pequena demonstração: seja . Então . Diferenciando ambos os lados em relação a obtemos
Como
, temos
(tomando o sinal adequado no intervalo
onde
varia). Assim
Portanto
Passo 4
Aplico a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Simplificando o sinal:
Passo 5
Agora calculo a integral
Use substituição para explicar passo a passo: defina
Então
Substituindo na integral:
Integrando:
Voltando para
:
Passo 6
Substituindo esse resultado em (Passo 4) obtemos a primitiva completa:
Se quiser confirmar, pode derivar essa expressão e verificar que a derivada é
. Lembre-se que a igualdade é válida para
(e por continuidade nos extremos
pela extensão adequada).