Resolva as integrais abaixo, algumas delas será necessário aplicar mais de uma técnica de integração.
integral d xx(1-x^2)^32

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral para resolver:
integral dxx(1 - x^2)^32
Essa questão está dentro do conteúdo de integração, especificamente usando técnicas como substituição trigonométrica ou substituição em geral. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão para facilitar a integração, possivelmente usando substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a estrutura da função que estamos integrando:
1x(1 - x^2)^32
Parece complicada, mas podemos simplificar usando uma substituição adequada. Vamos deixar $ u = 1 - x^{2} $. Isso vai ajudar a reduzir a integral a uma forma mais manejável.

Passo 3

Com $ u = 1 - x^{2} $, precisamos calcular $ du $ em termos de $ dx $:
u = 1 - x^2
Agora, vamos substituir $ u $ e $ dx $ na integral original.

Passo 4

Substituindo na integral:
integral dxx(1 - x^2)^32 = integral -du2xx u^32
Simplificando os termos:
= -12 integral dux^2 u^32
Mas sabemos que $ u = 1 - x^{2} $, então $ x^{2} = 1 - u $. Vamos substituir isso.

Passo 5

Substituindo $ x^{2} = 1 - u $:
x^2 = 1 - u
Agora, podemos separar a fração:
- 12 integral du(1 - u) u^32
Essa expressão ainda é um pouco complicada, então vamos pensar em outra substituição ou simplificar de outra forma.

Passo 6

Vamos tentar reescrever a integral de uma maneira que possamos reconhecer uma forma padrão:
- 12 integral u^-32 (1 - u)^-1 du
Aqui, podemos usar a regra de integração por partes ou identificar uma forma conhecida de integral. No entanto, parece mais eficiente voltar à substituição inicial e tentar outra abordagem.

Passo 7

Vamos tentar uma substituição trigonométrica. Observando que a expressão $ 1 - x^{2} $ sugere o uso da identidade trigonométrica $ 1 - \sin^{2}\theta = \cos^{2}\theta $. Vamos definir $ x = \sin\theta $.
Então, com $ x = \sin\theta $, temos:
1 - x^2
E, $ 1 - x^{2} = \cos^{2}\theta $.

Passo 8

Substituindo na integral:
integral dxx(1 - x^2)^32 = integral costheta , dthetasintheta (cos^2theta)^32
Simplificando a expressão:
= integral costheta , dthetasintheta cos^3theta = integral dthetasintheta cos^2theta

Passo 9

Agora, vamos simplificar mais a integral:
integral dthetasintheta cos^2theta
Podemos reescrever isso como:
integral sec^2thetasintheta dtheta
Mas isso ainda está complicado. Em vez disso, vamos tentar expressar tudo em termos de seno.

Passo 10

Vamos usar a identidade $ \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} $ e reescrever a integral:
sectheta = 1costheta
Podemos usar substituição novamente, definindo $ u = \cos\theta $, então $ du = -\sin\theta , d\theta $. Isso simplifica a integral.

Passo 11

Com $ u = \cos\theta $, temos $ du = -\sin\theta , d\theta $, ou seja, $ -du = \sin\theta , d\theta $. Substituindo na integral:
u = costheta
Note que $ \sin\theta = \sqrt{1 - u^{2}} $, mas isso não simplifica diretamente. Em vez disso, percebemos que a integral ficou:
du = -sintheta , dtheta

Passo 12

Agora, a integral está simples:
- integral u^-2 du = - ( -u^-1 ) + C = 1u + C
Lembrando que $ u = \cos\theta $, então:
u = costheta

Passo 13

Finalmente, voltando à variável original $ x $. Sabemos que $ x = \sin\theta $, então:
x
E $ \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2}\theta}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} $

Resposta

Então, a integral resolvida é:
integral dxx(1 - x^2)^32 = 1raiz1 - x^2 + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

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