Resolva as integrais abaixo, algumas delas será necessário aplicar mais de uma técnica de integração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral para resolver:
Essa questão está dentro do conteúdo de integração, especificamente usando técnicas como substituição trigonométrica ou substituição em geral. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão para facilitar a integração, possivelmente usando substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a estrutura da função que estamos integrando:
Parece complicada, mas podemos simplificar usando uma substituição adequada. Vamos deixar $ u = 1 - x^{2} $. Isso vai ajudar a reduzir a integral a uma forma mais manejável.
Passo 3
Com $ u = 1 - x^{2} $, precisamos calcular $ du $ em termos de $ dx $:
Agora, vamos substituir $ u $ e $ dx $ na integral original.
Passo 4
Substituindo na integral:
Simplificando os termos:
Mas sabemos que $ u = 1 - x^{2} $, então $ x^{2} = 1 - u $. Vamos substituir isso.
Passo 5
Substituindo $ x^{2} = 1 - u $:
Agora, podemos separar a fração:
Essa expressão ainda é um pouco complicada, então vamos pensar em outra substituição ou simplificar de outra forma.
Passo 6
Vamos tentar reescrever a integral de uma maneira que possamos reconhecer uma forma padrão:
Aqui, podemos usar a regra de integração por partes ou identificar uma forma conhecida de integral. No entanto, parece mais eficiente voltar à substituição inicial e tentar outra abordagem.
Passo 7
Vamos tentar uma substituição trigonométrica. Observando que a expressão $ 1 - x^{2} $ sugere o uso da identidade trigonométrica $ 1 - \sin^{2}\theta = \cos^{2}\theta $. Vamos definir $ x = \sin\theta $.
Então, com $ x = \sin\theta $, temos:
E, $ 1 - x^{2} = \cos^{2}\theta $.
Passo 8
Substituindo na integral:
Simplificando a expressão:
Passo 9
Agora, vamos simplificar mais a integral:
Podemos reescrever isso como:
Mas isso ainda está complicado. Em vez disso, vamos tentar expressar tudo em termos de seno.
Passo 10
Vamos usar a identidade $ \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} $ e reescrever a integral:
Podemos usar substituição novamente, definindo $ u = \cos\theta $, então $ du = -\sin\theta , d\theta $. Isso simplifica a integral.
Passo 11
Com $ u = \cos\theta $, temos $ du = -\sin\theta , d\theta $, ou seja, $ -du = \sin\theta , d\theta $. Substituindo na integral:
Note que $ \sin\theta = \sqrt{1 - u^{2}} $, mas isso não simplifica diretamente. Em vez disso, percebemos que a integral ficou:
Passo 12
Agora, a integral está simples:
Lembrando que $ u = \cos\theta $, então:
Passo 13
Finalmente, voltando à variável original $ x $. Sabemos que $ x = \sin\theta $, então:
E $ \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2}\theta}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} $
Resposta
Então, a integral resolvida é:
Onde $ C $ é a constante de integração.