Use a definição para verificar se a integral imprópria converge ou diverge. Calcule o valor das integrais impróprias que convergem.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da integral imprópria
do ponto de vista de integrais impróprias (o problema está em x→π/2, onde 1−sen x→0) e, se convergir, calcular seu valor. Vamos usar definição de integral imprópria e transformação por substituição.
Passo 2
Primeiro, reescrevemos a integral como limite para lidar com o ponto singular x=π/2:
Isso garante que tratamos corretamente a possível divergência no extremo superior.
Passo 3
Agora fazemos a substituição
então
e os limites mudam: quando x=0, ν=1; quando x→π/2, ν→0. A integral interna vira
Passo 4
Invertendo os limites para eliminar o sinal menos, obtemos
No limite b→π/2⁻, 1−sen b→0, então a integral torna-se
Essa é uma integral de tipo p com p=1/2<1, logo convergente.
Passo 5
Por fim, calculamos a integral de
:
Assim, a integral imprópria converge e seu valor é 2.
Resposta
2