Use a definição para verificar se a integral imprópria converge ou diverge. Calcule o valor das integrais impróprias que convergem.
integral0^pi2 cos xraiz1-sen x d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da integral imprópria
integral0^pi2 cos xraiz1-sin x,dx
do ponto de vista de integrais impróprias (o problema está em x→π/2, onde 1−sen x→0) e, se convergir, calcular seu valor. Vamos usar definição de integral imprópria e transformação por substituição.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a integral como limite para lidar com o ponto singular x=π/2:
integral0^pi2 cos xraiz1-sin x,dx = limbtopi2^- integral0^b cos xraiz1-sin x,dx
Isso garante que tratamos corretamente a possível divergência no extremo superior.

Passo 3

Agora fazemos a substituição
u = 1-sin x,
então
du = -cos x,dx
e os limites mudam: quando x=0, ν=1; quando x→π/2, ν→0. A integral interna vira
integral0^b cos xraiz1-sin x,dx = integralnu=1^nu=1-sin b -1raiznu,dnu

Passo 4

Invertendo os limites para eliminar o sinal menos, obtemos
integral1^1-sin b ! -nu^-1/2 ,dnu = integral1-sin b^1 nu^-1/2 ,dnu
No limite b→π/2⁻, 1−sen b→0, então a integral torna-se
limbtopi2^- integral1-sin b^1 nu^-1/2 ,dnu = integral0^1 nu^-1/2 ,dnu
Essa é uma integral de tipo p com p=1/2<1, logo convergente.

Passo 5

Por fim, calculamos a integral de nu^-1/2:
integral0^1 nu^-1/2 ,dnu = [2,nu^1/2]0^1 = 2,(1-0) = 2
Assim, a integral imprópria converge e seu valor é 2.

Resposta

2

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