Resolva as integrais abaixo:
\int \frac{d x}{x\left[1+(\ln (x))^{2}\right]}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{dx}{x\bigl[1+(\ln(x))^{2}\bigr]}
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição, pois vemos \ln(x) e seu derivado natural \tfrac{1}{x}.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \ln(x), \quad du = \frac{dx}{x}.
Com isso, a integral vira
\int \frac{dx}{x\bigl[1+(\ln(x))^{2}\bigr]} = \int \frac{du}{1+u^{2}} = \arctan(u) + C.
Voltando à variável original, u=\ln(x), temos
\arctan\bigl(\ln(x)\bigr) + C.

Resposta

\displaystyle \arctan\bigl(\ln(x)\bigr) + C

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