Informações dadas: \,x varia de 0 até \ln 3.
A integranda é e^{x}\left(1+e^{x}\right)^{2}.
A tarefa é obter o valor numérico exato dessa integral definida.
Passo 2
Observando a integranda, vemos um fator e^{x} multiplicando uma função de 1+e^{x}. Isso sugere fazer uma substituição que simplifique (1+e^{x}) para uma nova variável. Vou aplicar a substituição
u = 1 + e^{x}.
Explico por que isso funciona: ao trocar a variável, precisamos também relacionar os diferenciais. Diferenciando u em relação a x obtemos
\frac{du}{dx} = e^{x},
ou seja,
du = e^{x}\,dx.
Isso é ótimo porque o fator e^{x}\,dx aparece exatamente na integral original — portanto a substituição vai transformar a integral numa forma bem simples.
Passo 3
Como é uma integral definida, devemos transformar também os limites de integração. Calculamos u nos pontos extremos:
quando x=0:
u = 1 + e^{0} = 1 + 1 = 2.
quando x=\ln 3:
u = 1 + e^{\ln 3} = 1 + 3 = 4.
Passo 4
Substituímos na integral usando du = e^{x}\,dx e u=1+e^{x}. A integral original