Resolva as integrais abaixo:
\int_{0}^{\ln 3} e^{x}\left(1+e^{x}\right)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\ln 3} e^{x}\left(1+e^{x}\right)^{2}\,dx.
Informações dadas:
\,x varia de 0 até \ln 3.
A integranda é e^{x}\left(1+e^{x}\right)^{2}.
A tarefa é obter o valor numérico exato dessa integral definida.

Passo 2

Observando a integranda, vemos um fator e^{x} multiplicando uma função de 1+e^{x}. Isso sugere fazer uma substituição que simplifique (1+e^{x}) para uma nova variável. Vou aplicar a substituição
u = 1 + e^{x}.
Explico por que isso funciona: ao trocar a variável, precisamos também relacionar os diferenciais. Diferenciando u em relação a x obtemos
\frac{du}{dx} = e^{x},
ou seja,
du = e^{x}\,dx.
Isso é ótimo porque o fator e^{x}\,dx aparece exatamente na integral original — portanto a substituição vai transformar a integral numa forma bem simples.

Passo 3

Como é uma integral definida, devemos transformar também os limites de integração. Calculamos u nos pontos extremos:
quando x=0:
u = 1 + e^{0} = 1 + 1 = 2.
quando x=\ln 3:
u = 1 + e^{\ln 3} = 1 + 3 = 4.

Passo 4

Substituímos na integral usando du = e^{x}\,dx e u=1+e^{x}. A integral original
\int_{0}^{\ln 3} e^{x}\left(1+e^{x}\right)^{2}\,dx
fica
\int_{u=2}^{u=4} u^{2}\,du.
Aqui transformamos (1+e^{x})^{2} em u^{2} e e^{x}\,dx em du.

Passo 5

Agora calculamos a primitiva de u^{2}. Usamos a regra de potência para integrais indefinidas:
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C\quad\text{(para \(n\neq -1\)).}
Aplicando com n=2 obtemos a primitiva
\int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3}.

Passo 6

Avaliamoa a primitiva entre os limites 2 e 4:
\left.\frac{u^{3}}{3}\right|_{2}^{4} = \frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3} = \frac{64}{3} - \frac{8}{3} = \frac{56}{3}.
Fiz a subtração 64-8=56 e mantive o denominador comum 3.

Resposta

\dfrac{56}{3}

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