Resolva as integrais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas e o que se pede:
- Integrando:
. - Pedir: antiderivada indefinida (ou seja, encontrar uma primitiva e adicionar constante de integração
).
Passo 2
Observação sobre a forma da integral e escolha do método (explicação didática):
- Temos uma função racional: quociente de dois polinômios.
- O grau do numerador (
) é menor que o grau do denominador ( ): boa situação para decompor em frações parciais se o denominador fatorar em fatores lineares. - A ideia das frações parciais: quando o denominador se fatoriza como produto de fatores lineares distintos, pode-se escrever a fração como soma de termos do tipo
. Cada termo é fácil de integrar (dá logaritmo). - Portanto vamos fatorar o denominador e fazer decomposição em frações parciais. Depois integramos cada parte usando a fórmula básica
que vem da substituição
,
.
Passo 3
Fatorar o denominador (passo a passo):
- Denominador:
. - Calcular as raízes pela fórmula quadrática ou tentar fatorar por inspeção. Pelo discriminante:
- Raízes:
Isso dá
e
.
- Logo o polinômio fatora como produto de fatores lineares. Uma forma conveniente é
(Verificação rápida:
.)
Passo 4
Configurar a decomposição em frações parciais:
- Queremos escrever
onde
e
são constantes a determinar.
- Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Passo 5
Determinar
- Igualando coeficientes com
obtemos o sistema
- Resolver: da primeira,
.
- Logo a decomposição é
Passo 6
Separar a integral em duas integrais simples:
Passo 7
Integrar cada termo (explicando a técnica):
- Para a primeira integral, usar a substituição ou lembrar a fórmula
.
Aqui, , . Assim
- Para a segunda integral, também é direto:
(Explicação curta: usar
,
, então
.)
Passo 8
Somar as primitivas e adicionar a constante de integração:
Opcionalmente pode-se combinar os logaritmos em um só:
mas a forma com soma de logaritmos é perfeitamente adequada e geralmente mais clara na prova.