Resolva as integrais abaixo:
\int \frac{5 \eta-5}{3 \eta^{2}-8 \eta-3} d \eta

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{5\eta-5}{3\eta^{2}-8\eta-3}\,d\eta.
Informações dadas e o que se pede:
  • Integrando: \dfrac{5\eta-5}{3\eta^{2}-8\eta-3}.
  • Pedir: antiderivada indefinida (ou seja, encontrar uma primitiva e adicionar constante de integração C).

Passo 2

Observação sobre a forma da integral e escolha do método (explicação didática):
  • Temos uma função racional: quociente de dois polinômios.
  • O grau do numerador ( 1) é menor que o grau do denominador ( 2): boa situação para decompor em frações parciais se o denominador fatorar em fatores lineares.
  • A ideia das frações parciais: quando o denominador se fatoriza como produto de fatores lineares distintos, pode-se escrever a fração como soma de termos do tipo \dfrac{A}{\text{(fator linear)}}. Cada termo é fácil de integrar (dá logaritmo).
  • Portanto vamos fatorar o denominador e fazer decomposição em frações parciais. Depois integramos cada parte usando a fórmula básica
\int \frac{1}{a x + b}\,dx = \frac{1}{a}\ln|a x + b| + C,
que vem da substituição u=ax+b, du=a\,dx.

Passo 3

Fatorar o denominador (passo a passo):
  • Denominador: 3\eta^{2}-8\eta-3.
  • Calcular as raízes pela fórmula quadrática ou tentar fatorar por inspeção. Pelo discriminante:
\Delta = (-8)^{2}-4\cdot3\cdot(-3)=64+36=100.
  • Raízes:
\eta = \frac{8\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}=\frac{8\pm10}{6}.
Isso dá \eta=3 e \eta=-\tfrac{1}{3}.
  • Logo o polinômio fatora como produto de fatores lineares. Uma forma conveniente é
3\eta^{2}-8\eta-3=(3\eta+1)(\eta-3).
(Verificação rápida: (3\eta+1)(\eta-3)=3\eta^{2}-9\eta+\eta-3=3\eta^{2}-8\eta-3.)

Passo 4

Configurar a decomposição em frações parciais:
  • Queremos escrever
\frac{5\eta-5}{(3\eta+1)(\eta-3)}=\frac{A}{3\eta+1}+\frac{B}{\eta-3},
onde A e B são constantes a determinar.
  • Multiplicando ambos os lados por (3\eta+1)(\eta-3) obtemos a identidade polinomial
5\eta-5 = A(\eta-3)+B(3\eta+1).

Passo 5

Determinar A\) e \(B\) (resolver sistema): - Expandir o lado direito: \[A(\eta-3)+B(3\eta+1)=A\eta-3A+3B\eta+B=(A+3B)\eta+(-3A+B).
  • Igualando coeficientes com 5\eta-5 obtemos o sistema
\begin{cases} A+3B=5,\\[4pt] -3A+B=-5. \end{cases}
  • Resolver: da primeira, A=5-3B\]. Substituindo na segunda: \[-3(5-3B)+B=-5 \quad\Rightarrow\quad -15+9B+B=-5 \quad\Rightarrow\quad 10B=10 \quad\Rightarrow\quad B=1.\] - Então \(A=5-3\cdot1=2.
    - Logo a decomposição é
\frac{5\eta-5}{(3\eta+1)(\eta-3)}=\frac{2}{3\eta+1}+\frac{1}{\eta-3}.]

Passo 6

Separar a integral em duas integrais simples:
\int \frac{5\eta-5}{3\eta^{2}-8\eta-3}\,d\eta =\int \frac{2}{3\eta+1}\,d\eta+\int \frac{1}{\eta-3}\,d\eta.

Passo 7

Integrar cada termo (explicando a técnica):
  • Para a primeira integral, usar a substituição ou lembrar a fórmula \int \dfrac{1}{a x + b}\,dx=\dfrac{1}{a}\ln|a x + b|.
    Aqui a=3, x=\eta, b=1. Assim
\int \frac{2}{3\eta+1}\,d\eta = 2\cdot\int \frac{1}{3\eta+1}\,d\eta =2\cdot\frac{1}{3}\ln|3\eta+1|=\frac{2}{3}\ln|3\eta+1|.
  • Para a segunda integral, também é direto:
\int \frac{1}{\eta-3}\,d\eta = \ln|\eta-3|.
(Explicação curta: usar u=\eta-3, du=d\eta, então \int u^{-1}du=\ln|u|.)

Passo 8

Somar as primitivas e adicionar a constante de integração:
\int \frac{5\eta-5}{3\eta^{2}-8\eta-3}\,d\eta =\frac{2}{3}\ln|3\eta+1|+\ln|\eta-3|+C.
Opcionalmente pode-se combinar os logaritmos em um só:
\frac{2}{3}\ln|3\eta+1|+\ln|\eta-3|=\ln\!\big(|3\eta+1|^{2/3}|\eta-3|\big),
mas a forma com soma de logaritmos é perfeitamente adequada e geralmente mais clara na prova.

Resposta

\dfrac{2}{3}\ln|3\eta+1|+\ln|\eta-3|+C

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