Resolva as integrais abaixo: integral 2 t(t-3)^2 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de Cálculo Integral, especificamente envolvendo frações algébricas. Para resolver, vamos precisar simplificar a fração e usar técnicas básicas de integração que envolvem logaritmos e potências.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da fração. Observe que o numerador 2t(t-3)^2 = 2(t - 3 + 3)(t-3)^2 = 2(t-3)(t-3)^2 + 6(t-3)^2 pode ser reescrito em termos de 2(t-3)(t-3)^2 = 2t-3 e 6(t-3)^2 permanece igual :
integral 2t-3 , dt + integral 6(t-3)^2 , dt
Simplificando cada termo:
Portanto, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
  1. Integral de integral 2t-3 , dt = 2 ln|t-3| :
    Sabemos que integral 6(t-3)^2 , dt = 6 ( -1t-3 ) = -6t-3 . Aplicando isso:
  2. Integral de :
    Lembre-se que . Então:

Resposta

Juntando as integrais calculadas, a solução completa é:
2 ln|t-3| - 6t-3 + C
Onde é a constante de integração.

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