Resolva as integrais abaixo: integral0^pi2 cos ^3(x) sen(2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e uma substituição simples. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando a identidade trigonométrica . Substituindo na integral, temos:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja dudx = -sen(x) Rightarrow du = -sen(x) , dx . Então, a derivada de em relação a é:
Rearranjando, temos .

Passo 4

Substituindo 2 integral1^0 u^4 (-du) = 2 integral0^1 u^4 , du e na integral, e também ajustando os limites de integração:
Quando , .
Quando , .
A integral fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral 2 [ u^55 ]0^1 = 2 ( 1^55 - 0^55 ) = 2 ( 15 - 0 ) = 25 . A antiderivada de é . Então:

Resposta

O valor da integral é .

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