Resolva as Integrais abaixo:
\int\left(\frac{\cos (x)}{2}+\sqrt{x}-x^{2}+2\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(\frac{\cos (x)}{2}+\sqrt{x}-x^{2}+2\right)\,dx.
Vou listar as partes relevantes do integrando (peguei todas essas da própria expressão):
  • a primeira parcela é \dfrac{\cos(x)}{2};
  • a segunda parcela é \sqrt{x}, que é o mesmo que x^{1/2};
  • a terceira parcela é -x^{2};
  • a quarta parcela é a constante 2.
A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa soma, ou seja, uma função cuja derivada seja o integrando. Vou resolver fazendo a integral termo a termo e explicando cada regra usada.

Passo 2

Regra básica que vou usar (linearidade e fator constante):
\int\big(a\cdot f(x) + b\cdot g(x)\big)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx,
para constantes a,b. Isso permite integrar cada parcela separadamente e depois somar os resultados. Também uso que posso tirar constantes para fora da integral:
\int c\cdot h(x)\,dx = c\int h(x)\,dx.

Passo 3

Integral da parcela \dfrac{\cos(x)}{2}.
Propriedade usada: fator constante. Como \dfrac{1}{2} é constante,
\int \frac{\cos(x)}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int \cos(x)\,dx.
Fórmula conhecida: \displaystyle \int \cos(x)\,dx = \sin(x)+C. Logo
\int \frac{\cos(x)}{2}\,dx = \frac{1}{2}\sin(x).

Passo 4

Integral da parcela \sqrt{x} = x^{1/2}.
Regra usada: regra da potência para integrais (power rule). Para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=\tfrac{1}{2}. Então n+1=\tfrac{3}{2} e
\int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{3/2}}{3/2}+C = \frac{2}{3}x^{3/2}.
Explicando a operação: dividir por 3/2 é multiplicar por 2/3.

Passo 5

Integral da parcela -x^{2}.
Aplicando a mesma regra da potência com n=2:
\int -x^{2}\,dx = -\int x^{2}\,dx = -\frac{x^{3}}{3}.
(Usando \int x^{2}\,dx = x^{3}/3.)

Passo 6

Integral da parcela constante 2.
Regra: \int a\,dx = a x + C para constante a. Então
\int 2\,dx = 2x.

Passo 7

Juntando os resultados das parcelas obtidas (pela linearidade das integrais), a primitiva geral é a soma das primitivas parciais encontradas, acrescida da constante de integração C. As primitivas parciais são:
  • para \dfrac{\cos(x)}{2}: \dfrac{1}{2}\sin(x);
  • para \sqrt{x}: \dfrac{2}{3}x^{3/2};
  • para -x^{2}: -\dfrac{x^{3}}{3};
  • para 2: 2x.

Resposta

\dfrac{1}{2}\sin(x)+\dfrac{2}{3}x^{3/2}-\dfrac{x^{3}}{3}+2x+C

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