Um lago recebe despejo de poluentes de forma contínua.
A concentração de poluente segue:
O primeiro termo representa “limpeza natural”; o segundo, despejo constante.
Determine, por aproximação (2 casas decimais), o instante em que a concentração atinge
.
Passo 1
O enunciado dá a concentração do poluente em função do tempo:
e pede, por aproximação com duas casas decimais, o instante em que a concentração atinge
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Queremos resolver a equação
. - A função envolve um termo exponencial decrescente
(limpeza natural) e um termo exponencial crescente (despejo). - A equação é transcendental (não se resolve algebricamente em termos elementares), então é necessário usar um método numérico para encontrar
.
Passo 2
Transformar o problema em função cuja raiz buscamos e explicar como calcular potências:
Definimos a função
Definimos a função
Queremos encontrar
tal que
.
Observação prática sobre cálculo de
: usar a identidade
onde
é o logaritmo natural de
. Isso permite calcular
com funções exponenciais: primeiro calcula-se
e depois
.
Passo 3
Escolher o método numérico: explicação do método da bisseção (método usado)
- O método da bisseção é simples e robusto: precisamos de um intervalo
tal que e tenham sinais opostos; então existe pelo menos uma raiz em . - Em cada iteração tomamos o ponto médio
e substituímos o intervalo pelo subintervalo onde ocorre mudança de sinal. Repetimos até obter a precisão desejada. - Critério de parada para duas casas decimais: para garantir que o valor arredondado de
a duas casas decimais esteja correto, basta reduzir o tamanho do intervalo para algo menor que (idealmente para evitar ambiguidade no arredondamento). Aqui usaremos bisseção até o intervalo ficar pequeno e, quando próximo, faremos uma interpolação linear para acelerar a obtenção de com duas casas.
Passo 4
Achar um intervalo inicial com mudança de sinal (bracketing)
- Calcular
:
Logo
.
- Observar comportamento para
grande: o primeiro termo tende a e o segundo cresce sem bound, então quando . Logo existe alguma raiz positiva. - Fazer avaliações para achar um
com : -
: calcula-se aproximadamente e , então (ainda negativo). -
: e , logo .
Portanto existe mudança de sinal em. Podemos refinar: avaliando e obtemos (aproximações): -
então -
então
Logo existe uma raiz em. Este é um intervalo muito bom (pequeno) para começar a bisseção.
-
Passo 5
Primeiras iterações da bisseção (mostrar contas e aproximações)
Intervalo inicial .
Intervalo inicial
-
. Calcular :
- Usar
e . Aproximações numéricas fornecem e . Soma .
Comoe , nova faixa é .
-
. Calcular :
- Aproximações:
e . Soma .
Comoe , nova faixa é .
-
. Calcular :
- Aproximações:
e . Soma .
Comoe , nova faixa é .
-
. Calcular :
- Aproximações:
e . Soma .
Agora o sinal emé negativo e em é positivo, logo raiz em .
Passo 6
Refinar até intervalo pequeno e usar interpolação linear para obter duas casas
Continuamos mais duas bisseções rapidamente para encurtar o intervalo:
Continuamos mais duas bisseções rapidamente para encurtar o intervalo:
-
. Aproximação: . (negativo) -
. Aproximação: . (positivo)
Agora a raiz está em
, cujo comprimento é
. Esse intervalo já é pequeno; para obter o valor final com duas casas decimais podemos fazer uma interpolação linear entre os dois extremos para estimar a raiz com mais precisão:
Usando valores aproximados
Interpolação linear para
:
Substituindo números:
Passo 7
Arredondamento e verificação rápida
- O valor obtido é
. Arredondando para duas casas decimais (regra usual de arredondamento) obtemos . - Isso está coerente com as avaliações anteriores: em
espera-se muito próximo de .