Um lago recebe despejo de poluentes de forma contínua.
A concentração de poluente segue:
C(t)=200 \cdot e^{-0,05 t}+50 \cdot 1,02^{t}
O primeiro termo representa “limpeza natural”; o segundo, despejo constante.
Determine, por aproximação (2 casas decimais), o instante em que a concentração atinge 300 \mathrm{mg} / \mathrm{L}.

Passo 1

O enunciado dá a concentração do poluente em função do tempo:
C(t)=200\cdot e^{-0,05t}+50\cdot 1,02^{t},
e pede, por aproximação com duas casas decimais, o instante em que a concentração atinge 300\\ \mathrm{mg/L}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Queremos resolver a equação \;C(t)=300.
  • A função envolve um termo exponencial decrescente \;200e^{-0,05t} (limpeza natural) e um termo exponencial crescente \;50\cdot 1,02^{t} (despejo).
  • A equação é transcendental (não se resolve algebricamente em termos elementares), então é necessário usar um método numérico para encontrar t.

Passo 2

Transformar o problema em função cuja raiz buscamos e explicar como calcular potências:
Definimos a função
f(t)=C(t)-300=200\cdot e^{-0,05t}+50\cdot 1,02^{t}-300.
Queremos encontrar t tal que f(t)=0.
Observação prática sobre cálculo de 1,02^{t}: usar a identidade
1,02^{t}=e^{t\ln(1,02)},
onde \ln(1,02) é o logaritmo natural de 1{,}02. Isso permite calcular 1,02^{t} com funções exponenciais: primeiro calcula-se t\ln(1,02) e depois e^{t\ln(1,02)}.

Passo 3

Escolher o método numérico: explicação do método da bisseção (método usado)
  • O método da bisseção é simples e robusto: precisamos de um intervalo [a,b] tal que f(a) e f(b) tenham sinais opostos; então existe pelo menos uma raiz em [a,b].
  • Em cada iteração tomamos o ponto médio m=(a+b)/2 e substituímos o intervalo pelo subintervalo onde ocorre mudança de sinal. Repetimos até obter a precisão desejada.
  • Critério de parada para duas casas decimais: para garantir que o valor arredondado de t a duas casas decimais esteja correto, basta reduzir o tamanho do intervalo para algo menor que 0{,}01 (idealmente <0{,}005 para evitar ambiguidade no arredondamento). Aqui usaremos bisseção até o intervalo ficar pequeno e, quando próximo, faremos uma interpolação linear para acelerar a obtenção de t com duas casas.

Passo 4

Achar um intervalo inicial com mudança de sinal (bracketing)
  • Calcular f(0):
f(0)=200\cdot e^{0}+50\cdot 1,02^{0}-300=200+50-300=-50.
Logo f(0)=-50<0.
  • Observar comportamento para t grande: o primeiro termo tende a 0 e o segundo cresce sem bound, então f(t)\to +\infty quando t\to\infty. Logo existe alguma raiz positiva.
  • Fazer avaliações para achar um b com f(b)>0:
    • t=50: calcula-se aproximadamente 200e^{-2,5}\approx16{,}42 e 50\cdot 1,02^{50}\approx134{,}58, então C(50)\approx151{,}0\Rightarrow f(50)\approx -149{,}0 (ainda negativo).
    • t=100: 200e^{-5}\approx1{,}35 e 50\cdot 1,02^{100}\approx362{,}1, logo C(100)\approx363{,}45\Rightarrow f(100)\approx+63{,}45.
      Portanto existe mudança de sinal em [50,100]. Podemos refinar: avaliando t=90 e t=91 obtemos (aproximações):
    • t=90:\;200e^{-4,5}\approx2{,}2218,\quad 50\cdot 1,02^{90}\approx297{,}20, então C(90)\approx299{,}42\Rightarrow f(90)\approx-0{,}58.
    • t=91:\;200e^{-4,55}\approx2{,}112,\quad 50\cdot 1,02^{91}\approx303{,}07, então C(91)\approx305{,}18\Rightarrow f(91)\approx+5{,}18.
      Logo existe uma raiz em [90,91]. Este é um intervalo muito bom (pequeno) para começar a bisseção.

Passo 5

Primeiras iterações da bisseção (mostrar contas e aproximações)
Intervalo inicial [a,b]=[90,91].
  1. m_1=90{,}5. Calcular C(90{,}5):
  • Usar 1,02^{90{,}5}=e^{90{,}5\ln(1,02)} e e^{-0,05\cdot 90{,}5}=e^{-4{,}525}. Aproximações numéricas fornecem 50\cdot 1,02^{90{,}5}\approx300{,}19 e 200e^{-4{,}525}\approx2{,}17. Soma C(90{,}5)\approx302{,}36\Rightarrow f(90{,}5)\approx+2{,}36.
    Como f(90)= -0{,}58 e f(90{,}5)=+2{,}36, nova faixa é [90,90{,}5].
  1. m_2=90{,}25. Calcular C(90{,}25):
  • Aproximações: 50\cdot 1,02^{90{,}25}\approx298{,}68 e 200e^{-0,05\cdot 90{,}25}\approx2{,}19. Soma C(90{,}25)\approx300{,}87\Rightarrow f(90{,}25)\approx+0{,}87.
    Como f(90)= -0{,}58 e f(90{,}25)=+0{,}87, nova faixa é [90,90{,}25].
  1. m_3=90{,}125. Calcular C(90{,}125):
  • Aproximações: 50\cdot 1,02^{90{,}125}\approx297{,}93 e 200e^{-0,05\cdot 90{,}125}\approx2{,}21. Soma C(90{,}125)\approx300{,}14\Rightarrow f(90{,}125)\approx+0{,}14.
    Como f(90)= -0{,}58 e f(90{,}125)=+0{,}14, nova faixa é [90,90{,}125].
  1. m_4=90{,}0625. Calcular C(90{,}0625):
  • Aproximações: 50\cdot 1,02^{90{,}0625}\approx297{,}59 e 200e^{-0,05\cdot 90{,}0625}\approx2{,}2138. Soma C(90{,}0625)\approx299{,}80\Rightarrow f(90{,}0625)\approx-0{,}20.
    Agora o sinal em 90{,}0625 é negativo e em 90{,}125 é positivo, logo raiz em [90{,}0625,90{,}125].

Passo 6

Refinar até intervalo pequeno e usar interpolação linear para obter duas casas
Continuamos mais duas bisseções rapidamente para encurtar o intervalo:
  1. m_5=90{,}09375. Aproximação: C(90{,}09375)\approx299{,}973\Rightarrow f\approx-0{,}027. (negativo)
  2. m_6=90{,}109375. Aproximação: C(90{,}109375)\approx300{,}057\Rightarrow f\approx+0{,}057. (positivo)
Agora a raiz está em [90{,}09375,90{,}109375], cujo comprimento é 0{,}015625. Esse intervalo já é pequeno; para obter o valor final com duas casas decimais podemos fazer uma interpolação linear entre os dois extremos para estimar a raiz com mais precisão:
Usando valores aproximados
t_{\text{esq}}=90{,}09375,\quad C_{\text{esq}}\approx299{,}9729,
t_{\text{dir}}=90{,}109375,\quad C_{\text{dir}}\approx300{,}0572.
Interpolação linear para C=300:
t \approx t_{\text{esq}} + (300-C_{\text{esq}})\frac{t_{\text{dir}}-t_{\text{esq}}}{C_{\text{dir}}-C_{\text{esq}}}.
Substituindo números:
t \approx 90{,}09375 + (300-299{,}9729)\frac{0{,}015625}{300{,}0572-299{,}9729} \approx 90{,}09375 + 0{,}00503 \approx 90{,}09878.

Passo 7

Arredondamento e verificação rápida
  • O valor obtido é t\approx 90{,}09878. Arredondando para duas casas decimais (regra usual de arredondamento) obtemos \;t\approx90{,}10.
  • Isso está coerente com as avaliações anteriores: em t=90{,}10 espera-se C muito próximo de 300.

Resposta

\,t\approx90{,}10

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