Duas plataformas de streaming aumentam seu número de assinantes segundo:
A(t)=50 \cdot 1,30^{t}, \quad B(t)=80 \cdot 1,15^{t} .
Após quantos meses ambas terão o mesmo número de assinantes?

Passo 1

O enunciado fornece as duas funções que dão o número de assinantes em função do tempo t (meses):
A(t)=50\cdot 1,30^{t},\qquad B(t)=80\cdot 1,15^{t}.
A pergunta é: após quantos meses t teremos o mesmo número de assinantes nas duas plataformas? Ou seja, encontrar t tal que A(t)=B(t).

Passo 2

Escrevendo a igualdade pedida:
50\cdot 1,30^{t}=80\cdot 1,15^{t}.
Queremos isolar t. Primeiro divido ambos os lados por 50 e por 1,15^{t}:
\frac{1,30^{t}}{1,15^{t}}=\frac{80}{50}.
Usando a propriedade das potências \dfrac{a^{t}}{b^{t}}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^{t}, isso vira
\left(\frac{1,30}{1,15}\right)^{t}=1,6.

Passo 3

Para resolver uma equação do tipo \alpha^{t}=\beta com t no expoente, usamos logaritmos porque o log transforma potência em produto: \log(\alpha^{t})=t\log(\alpha). Aplicando logaritmo (qualquer base serve, vou usar o log natural \ln):
t\ln\!\left(\frac{1,30}{1,15}\right)=\ln(1,6).
Isolando t:
t=\frac{\ln(1,6)}{\ln(1,30)-\ln(1,15)}.
Aqui explique rápido o que cada coisa significa:
  • \ln é o logaritmo natural (base e); pode usar log base 10 também, a razão é a mesma por causa da mudança de base.
  • Os números 1,30 e 1,15 são as taxas de crescimento mensais (30% e 15%), e 1,6 é 80/50.

Passo 4

Agora calculamos numericamente. Valores (aproximações usuais de \ln):
\ln(1,6)\approx 0,4700036,\qquad \ln(1,30)\approx 0,2623643,\qquad \ln(1,15)\approx 0,1397619.
Subtraindo:
\ln(1,30)-\ln(1,15)\approx 0,2623643-0,1397619=0,1226024.
Portanto
t\approx\frac{0,4700036}{0,1226024}\approx 3,834.

Passo 5

Interpretação: t\approx 3,834 meses significa que as duas plataformas terão o mesmo número de assinantes pouco antes de completar 4 meses — entre o 3.º e o 4.º mês. Se for preciso um mês inteiro, ao final de 3 meses ainda não são iguais; ao final de 4 meses já terão passado desse ponto de igualdade.

Resposta

t=\dfrac{\ln(1,6)}{\ln(1,30)-\ln(1,15)}\approx 3,83\\ \text{meses}

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