Resolva as integrais definidas abaixo, utilizando o método que julgar mais conveniente:
\int_{0}^{1} x \operatorname{sen}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} x\,\operatorname{sen}(x)\,dx
Usaremos o método de integração por partes, que é indicado quando a integranda é produto de duas funções.

Passo 2

Na integração por partes, escolhemos
u = x \quad\text{e}\quad dv = \operatorname{sen}(x)\,dx.
Então
du = dx \quad\text{e}\quad v = \int \operatorname{sen}(x)\,dx = -\cos(x).
A fórmula é
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 3

Aplicando a fórmula, obtemos a antiderivada
\int x\,\operatorname{sen}(x)\,dx = x\bigl(-\cos(x)\bigr) - \int \bigl(-\cos(x)\bigr)\,dx = -x\cos(x) + \int \cos(x)\,dx = -x\cos(x) + \operatorname{sen}(x) + C.

Passo 4

Agora avaliamos de 0 a 1:
\bigl[-x\cos(x) + \operatorname{sen}(x)\bigr]_{0}^{1} = \bigl(-1\cdot\cos(1) + \operatorname{sen}(1)\bigr) - \bigl(0\cdot\cos(0) + \operatorname{sen}(0)\bigr) = \operatorname{sen}(1) - \cos(1).

Resposta

\sin(1) - \cos(1)

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