Resolva as integrais definidas e indefinidas abaixo, utilizando o método que julgar mais conveniente:
\int \frac{x^{2} \ln ^{3}\left(1+x^{3}\right)}{1+x^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}\,\ln^{3}\bigl(1+x^{3}\bigr)}{1+x^{3}}\,dx.
O conteúdo principal aqui é reconhecimento de uma parte interna cuja derivada aparece no numerador, sugerindo o método de substituição.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = \ln\bigl(1+x^{3}\bigr).
Derivando ambos os lados, temos
du = \frac{3x^{2}}{1+x^{3}}\,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}}{1+x^{3}}\,dx = \frac{1}{3}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, o fator \ln^{3}(1+x^{3}) vira u^{3} e o diferencial se transforma em \tfrac{1}{3}\,du:
\int \frac{x^{2}\,\ln^{3}(1+x^{3})}{1+x^{3}}\,dx = \int u^{3}\;\frac{1}{3}\,du = \frac{1}{3}\,\int u^{3}\,du.

Passo 4

Agora integramos em u:
\int u^{3}\,du = \frac{u^{4}}{4},
portanto
\frac{1}{3}\,\int u^{3}\,du = \frac{1}{3}\,\cdot\frac{u^{4}}{4} = \frac{u^{4}}{12}.

Passo 5

Voltando à variável x, onde u = \ln(1+x^{3}), obtemos
\int \frac{x^{2}\,\ln^{3}(1+x^{3})}{1+x^{3}}\,dx = \frac{\ln^{4}\bigl(1+x^{3}\bigr)}{12} + C.

Resposta

\frac{\ln^{4}\bigl(1+x^{3}\bigr)}{12} + C

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