Resolva as integrais definidas e indefinidas abaixo, utilizando o método que julgar mais conveniente:
\int\left(\frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos ^{3}(x)}+\frac{x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva da função
f(x)=\frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos^3(x)}+\frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}
ou seja calcular
\int\Bigl(\frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos^3(x)}+\frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}\Bigr)\,dx.
O conteúdo envolvido é a linearidade da integral, substituição para a parte trigonométrica e reescrever a parte racional em raiz para usar primitivos conhecidas.

Passo 2

Usando a linearidade, separamos em duas integrais:
I_1=\int\frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos^3(x)}\,dx \quad\text{e}\quad I_2=\int\frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}\,dx.

Passo 3

Para I_1 fazemos a substituição
u=\cos(x), \quad du=-\operatorname{sen}(x)\,dx
portanto \operatorname{sen}(x)\,dx=-du e
I_1=\int\frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos^3(x)}\,dx =\int\frac{-du}{u^3} =-\int u^{-3}\,du =-\bigl(\tfrac{u^{-2}}{-2}\bigr) =\frac{1}{2}u^{-2} =\frac{1}{2\cos^2(x)}.

Passo 4

Para I_2 reescrevemos x^2=(1+x^2)-1, então
I_2 =\int\frac{1+x^2}{\sqrt{1+x^2}}\,dx -\int\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\,dx =\int\sqrt{1+x^2}\,dx -\int\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\,dx.
Sabemos que
\int\sqrt{1+x^2}\,dx =\frac{x}{2}\sqrt{1+x^2} +\frac{1}{2}\ln\bigl(x+\sqrt{1+x^2}\bigr)
e
\int\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\,dx =\operatorname{arcsinh}(x) =\ln\bigl(x+\sqrt{1+x^2}\bigr).
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I_2 =\frac{x}{2}\sqrt{1+x^2} +\frac{1}{2}\ln\bigl(x+\sqrt{1+x^2}\bigr) -\ln\bigl(x+\sqrt{1+x^2}\bigr) =\frac{x}{2}\sqrt{1+x^2} -\frac{1}{2}\ln\bigl(x+\sqrt{1+x^2}\bigr).

Passo 5

Somando I_1 e I_2, a primitiva geral é
\int\Bigl(\frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos^3(x)}+\frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}\Bigr)\,dx =\frac{1}{2\cos^2(x)} +\frac{x}{2}\sqrt{1+x^2} -\frac{1}{2}\ln\bigl(x+\sqrt{1+x^2}\bigr) +C.

Resposta

\boxed{ \int\Bigl(\frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos^3(x)}+\frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}\Bigr)\,dx =\frac{1}{2\cos^2(x)} +\frac{x}{2}\sqrt{1+x^2} -\frac{1}{2}\ln\bigl(x+\sqrt{1+x^2}\bigr) +C }.

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