Resolva as integrais definidas e indefinidas abaixo, utilizando o método que julgar mais conveniente:
\int \frac{e^{2 x}-1}{e^{2 x}+1} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}\,dx
Isso envolve manipular algebricamente o integrando e usar substituição para integrar a parte restante.

Passo 2

Dividimos o numerador de modo a separar em termos mais simples:
\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1} = \frac{(e^{2x}+1)-2}{e^{2x}+1} = 1 - \frac{2}{e^{2x}+1}.
Logo,
\int \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}\,dx = \int 1\,dx \;-\; 2\int \frac{1}{e^{2x}+1}\,dx = x - 2J,
onde definimos J=\displaystyle\int \frac{1}{e^{2x}+1}\,dx.

Passo 3

Para calcular J, use a substituição
t = e^x, \quad dt = e^x\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{dt}{t}, \quad e^{2x} = t^2.
Assim,
J = \int \frac{1}{e^{2x}+1}\,dx = \int \frac{1}{t^2+1}\cdot\frac{dt}{t} = \int \frac{dt}{t\,(t^2+1)}.

Passo 4

Decompondo em frações parciais:
\frac{1}{t(t^2+1)} = \frac{A}{t} + \frac{Bt+C}{t^2+1}.
Determinando coeficientes surge
\frac{1}{t(t^2+1)} = \frac{1}{t} \;-\; \frac{t}{t^2+1}.
Logo,
J = \int \frac{1}{t}\,dt \;-\; \int \frac{t}{t^2+1}\,dt = \ln|t| \;-\; \frac12\ln(t^2+1) + C.

Passo 5

Voltando a x (lembre t=e^x):
J = x - \frac12\ln\bigl(e^{2x}+1\bigr) + C.
Substituindo em x - 2J:
\int \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}\,dx = x - 2\Bigl(x - \tfrac12\ln(e^{2x}+1)\Bigr) + C = -\,x + \ln\bigl(e^{2x}+1\bigr) + C.

Resposta

\int \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}\,dx = -\,x + \ln\bigl(e^{2x}+1\bigr) + C.

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