Resolva as integrais definidas:
\int_{\frac{1}{2}}^{1}\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{\frac{1}{2}}^{1}\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é 1+\dfrac{1}{x^{2}}.
  • Os limites de integração são x=\dfrac{1}{2} (inferior) e x=1 (superior).
  • A tarefa é encontrar o valor numérico exato dessa integral definida.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinhos):
  • Integral definida e Teorema Fundamental do Cálculo: se F é uma primitiva de f (isto é, F'(x)=f(x)), então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
  • Linearidade da integral: \int (f+g) = \int f + \int g. Assim podemos separar a soma dentro da integral.
  • Primitivas básicas:
    • A primitiva de 1 é x, porque \dfrac{d}{dx}(x)=1.
    • Para potências, se n\neq -1 vale
    \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.No nosso caso temos x^{-2}. Aplicando a fórmula com n=-2 obtemos \int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -x^{-1}+C = -\frac{1}{x}+C.Observação: a primitiva de 1/x seria \ln|x|, mas aqui temos 1/x^{2}, que é x^{-2}, caso tratado pela fórmula acima.

Passo 3

Aplicando linearidade, escrevemos a integral como soma de duas integrais:
\int_{\frac{1}{2}}^{1}\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)\,dx = \int_{\frac{1}{2}}^{1} 1\,dx + \int_{\frac{1}{2}}^{1} x^{-2}\,dx.
Agora achamos as primitivas de cada termo:
  • Para 1, a primitiva é x.
  • Para x^{-2}, a primitiva é -\dfrac{1}{x}.
    Logo uma primitiva comum do integrando é
F(x)=x-\frac{1}{x}.

Passo 4

Avaliar a primitiva nos limites e subtrair:
\int_{\frac{1}{2}}^{1}\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)\,dx = F(1)-F\!\left(\tfrac{1}{2}\right).
Calculemos F(1) e F\!\left(\tfrac{1}{2}\right):
F(1)=1-\frac{1}{1}=1-1=0,
F\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{1}{2}-\frac{1}{\tfrac{1}{2}}=\tfrac{1}{2}-2=\tfrac{1}{2}-\tfrac{4}{2}=-\tfrac{3}{2}.
Portanto
F(1)-F\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=0-(-\tfrac{3}{2})=\tfrac{3}{2}.

Passo 5

Verificação rápida e comentário intuitivo: o integrando 1+\dfrac{1}{x^{2}} é positivo para todo x em [\tfrac{1}{2},1], então faz sentido o resultado ser positivo. O valor \tfrac{3}{2} é exatamente 1{,}5, consistente com a área sob a curva nesse intervalo.

Resposta

\tfrac{3}{2}

Exercícios relacionados