Resolva as integrais definidas:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
(inferior) e (superior). - A tarefa é encontrar o valor numérico exato dessa integral definida.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinhos):
- Integral definida e Teorema Fundamental do Cálculo: se
é uma primitiva de (isto é, ), então
- Linearidade da integral:
. Assim podemos separar a soma dentro da integral. - Primitivas básicas:
- A primitiva de
é , porque . - Para potências, se
vale
No nosso caso temos . Aplicando a fórmula com obtemos Observação: a primitiva de seria , mas aqui temos , que é , caso tratado pela fórmula acima. - A primitiva de
Passo 3
Aplicando linearidade, escrevemos a integral como soma de duas integrais:
Agora achamos as primitivas de cada termo:
- Para
, a primitiva é . - Para
, a primitiva é .
Logo uma primitiva comum do integrando é
Passo 4
Avaliar a primitiva nos limites e subtrair:
Calculemos
e
:
Portanto
Passo 5
Verificação rápida e comentário intuitivo: o integrando
é positivo para todo
em
, então faz sentido o resultado ser positivo. O valor
é exatamente
, consistente com a área sob a curva nesse intervalo.