Resolva as integrais definidas:
\int_{2}^{8} \frac{1}{x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{2}^{8} \frac{1}{x^{2}}\,dx.
Informações dadas:
  • Integrando: \dfrac{1}{x^{2}}.
  • Limites de integração: inferior x=2 e superior x=8.
    Pedido: encontrar o valor numérico da integral definida entre esses limites.

Passo 2

Estratégia: usar o Teorema Fundamental do Cálculo. Primeiro encontro uma primitiva (antiderivada) F(x) da função f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}. Depois avalio F nos extremos e faço F(8)-F(2).
Breve explicação do que uso:
  • A regra de potência para integrais diz que, para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração.
  • O Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2) afirma que, se F é uma primitiva de f (ou seja, F'(x)=f(x)), então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Aqui a é o limite inferior e b o superior.

Passo 3

Reescrevo o integrando em forma de potência:
\frac{1}{x^{2}} = x^{-2}.
Aplicando a regra de potência com n=-2:
\int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1}+C = \frac{x^{-1}}{-1}+C = -x^{-1}+C.
Ou seja, uma primitiva é
F(x) = -\frac{1}{x}.
Explicando: F'(x)=\dfrac{d}{dx}\!\left(-x^{-1}\right)= -(-1)x^{-2}=x^{-2}, então F é de fato primitiva de f.

Passo 4

Agora aplico o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{2}^{8} \frac{1}{x^{2}}\,dx = F(8)-F(2)
com F(x)=-\dfrac{1}{x}. Calculando os valores:
F(8) = -\frac{1}{8},\qquad F(2) = -\frac{1}{2}.

Passo 5

Faço a subtração:
F(8)-F(2) = -\frac{1}{8} -\biggl(-\frac{1}{2}\biggr) = -\frac{1}{8} + \frac{1}{2}.
Coloco em denominador comum 8:
-\frac{1}{8} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{8} + \frac{4}{8} = \frac{3}{8}.

Passo 6

Interpretação rápida para checar: a função 1/x^{2} é positiva em [2,8], portanto a integral definida deve ser positiva — e \dfrac{3}{8} é positiva, consistente com isso.

Resposta

\dfrac{3}{8}

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