Resolva as integrais definidas:
\int_{1}^{4}\left(3-\frac{1}{\sqrt{x}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{4}\left(3-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é 3-\dfrac{1}{\sqrt{x}}.
  • Os limites de integração são a=1 e b=4.
    O objetivo é obter o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Ideia geral (teorema que vamos usar): se F é uma primitiva de f (ou seja, F'(x)=f(x)), então vale o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Portanto precisamos encontrar uma primitiva F(x) de f(x)=3-\dfrac{1}{\sqrt{x}} e depois calcular F(4)-F(1).

Passo 3

Preparar o integrando para aplicar regras conhecidas. Reescrever \dfrac{1}{\sqrt{x}} usando potência:
\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}.
Assim o integrando fica 3 - x^{-1/2}. Usando a linearidade da integral:
\int\left(3 - x^{-1/2}\right)\,dx = \int 3\,dx - \int x^{-1/2}\,dx.

Passo 4

Regra da potência para primitivas (caso geral): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aplicando ao nosso caso:
  • Para a constante 3: \displaystyle \int 3\,dx = 3x + C (constante multiplica a primitiva).
  • Para x^{-1/2}: como n=-\tfrac{1}{2}, temos
\int x^{-1/2}\,dx = \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} = \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2x^{1/2}.

Passo 5

Combinar as primitivas obtidas (sem esquecer do sinal):
F(x) = 3x - 2x^{1/2} + C = 3x - 2\sqrt{x} + C.
Verificação rápida (útil na prova): derivando F,
F'(x)=3 - 2\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}=3 - x^{-1/2}=3-\frac{1}{\sqrt{x}},
que é exatamente o integrando. Ótimo — a primitiva está correta.

Passo 6

Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo e avaliar nos limites 1 e 4:
Calcular F(4):
F(4)=3\cdot 4 - 2\sqrt{4}=12 - 2\cdot 2=12-4=8.
Calcular F(1):
F(1)=3\cdot 1 - 2\sqrt{1}=3 - 2\cdot 1=3-2=1.
Subtrair:
\int_{1}^{4}\left(3-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\,dx = F(4)-F(1)=8-1=7.

Resposta

7

Exercícios relacionados