Resolva as integrais definidas:
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \operatorname{sen}(y) e^{\cos (y)} d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \operatorname{sen}(y)\, e^{\cos(y)} \, dy
Dado: o integrando é \operatorname{sen}(y)\, e^{\cos(y)} e os limites de integração são y=\frac{\pi}{2} e y=\pi. A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral definida?

Passo 2

Observação sobre a forma do integrando (dica útil para a prova): vemos e^{\cos(y)} e também \operatorname{sen}(y). Isso sugere a substituição \,u=\cos(y)\, porque a derivada de \cos(y) é -\operatorname{sen}(y), então \operatorname{sen}(y)\,dy aparece (com sinal) no diferencial. Vou aplicar essa substituição passo a passo.

Passo 3

Faço a substituição
u=\cos(y).
Calculo o diferencial du. Pela regra da derivada,
du = -\operatorname{sen}(y)\,dy.
Portanto
\operatorname{sen}(y)\,dy = -du.

Passo 4

Troco os limites de integração para a variável u. Quando y=\frac{\pi}{2},
u=\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.
Quando y=\pi,
u=\cos(\pi)=-1.
Assim a integral em y transforma-se em integral em u:
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \operatorname{sen}(y)\, e^{\cos(y)} \, dy = \int_{u=0}^{u=-1} (-e^{u})\, du.

Passo 5

Simplifico os sinais e, para ficar com limites na ordem crescente, inverto os limites trocando o sinal:
\int_{0}^{-1} (-e^{u})\, du = \int_{-1}^{0} e^{u}\, du.

Passo 6

Agora integro e^{u}. Uma primitiva de e^{u} é ela mesma e^{u}, porque \dfrac{d}{du}e^{u}=e^{u}. Então
\int_{-1}^{0} e^{u}\, du = \left.e^{u}\right|_{u=-1}^{u=0} = e^{0} - e^{-1}.

Passo 7

Calculo e simplifico e^{0}=1. Portanto o resultado é
1 - e^{-1},
que também pode ser escrito como 1 - \dfrac{1}{e}. Cheque rápido: o integrando é não-negativo no intervalo \left[\tfrac{\pi}{2},\pi\right], então o resultado positivo faz sentido numericamente (por exemplo 1-\tfrac{1}{e}\approx 0{,}632).

Resposta

1 - e^{-1}

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