Resolva as integrais definidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Dado: o integrando é
e os limites de integração são
e
. A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral definida?
Passo 2
Observação sobre a forma do integrando (dica útil para a prova): vemos
e também
. Isso sugere a substituição
porque a derivada de
é
, então
aparece (com sinal) no diferencial. Vou aplicar essa substituição passo a passo.
Passo 3
Faço a substituição
Calculo o diferencial
. Pela regra da derivada,
Portanto
Passo 4
Troco os limites de integração para a variável
. Quando
,
Quando
,
Assim a integral em
transforma-se em integral em
:
Passo 5
Simplifico os sinais e, para ficar com limites na ordem crescente, inverto os limites trocando o sinal:
Passo 6
Agora integro
. Uma primitiva de
é ela mesma
, porque
. Então
Passo 7
Calculo e simplifico
. Portanto o resultado é
que também pode ser escrito como
. Cheque rápido: o integrando é não-negativo no intervalo
, então o resultado positivo faz sentido numericamente (por exemplo
).