Resolva as integrais abaixo:
\int \ln \left(x^{2}+1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral indefinida
\int \ln\left(x^{2}+1\right)\,dx.
Informações dadas: a função integranda é \ln\left(x^{2}+1\right) e queremos uma primitiva (ou seja, a antiderivada) em função de x. Não foi dada condição inicial, então a resposta deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método. Aqui é natural usar a técnica de integração por partes porque temos um logaritmo (que costuma simplificar ao derivar) multiplicado por 1 (ou seja, a forma \int u\,dv com dv=dx). A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u e v são funções de x, du é a derivada de u vez dx e v é uma primitiva de dv. Vou explicar cada termo quando for aplicar.

Passo 3

Escolhemos as partes assim (escolha padrão: derivar o logaritmo):
u = \ln\left(x^{2}+1\right),\qquad dv = dx.
Agora calculamos du e v.
Derivando u:
du = \frac{d}{dx}\ln\left(x^{2}+1\right)\,dx = \frac{2x}{x^{2}+1}\,dx.
Integrando dv para obter v:
v = \int dx = x.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int \ln\left(x^{2}+1\right)\,dx = uv - \int v\,du = x\ln\left(x^{2}+1\right) - \int x\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}\,dx.
Simplificando o integrando na segunda parcela:
x\cdot\frac{2x}{x^{2}+1} = \frac{2x^{2}}{x^{2}+1},
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\int \ln\left(x^{2}+1\right)\,dx = x\ln\left(x^{2}+1\right) - 2\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}\,dx.

Passo 5

Agora simplificamos a fração dentro da integral. Note que
\frac{x^{2}}{x^{2}+1} = 1 - \frac{1}{x^{2}+1},
porque x^{2} = (x^{2}+1) - 1. Assim
\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}\,dx = \int \left(1 - \frac{1}{x^{2}+1}\right)\,dx = \int 1\,dx - \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx.

Passo 6

Avaliamo as integrais simples:
\int 1\,dx = x + C_1,
e lembrando uma primitiva padrão,
\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan(x) + C_2,
pois \frac{d}{dx}\arctan(x)=\frac{1}{1+x^{2}}. Substituindo na expressão do Passo 4 (podemos juntar constantes depois), obtemos
\int \ln\left(x^{2}+1\right)\,dx = x\ln\left(x^{2}+1\right) - 2\left(x - \arctan(x)\right) + C.

Passo 7

Expandindo os parênteses e rearranjando termos:
\int \ln\left(x^{2}+1\right)\,dx = x\ln\left(x^{2}+1\right) - 2x + 2\arctan(x) + C.
Pode-se verificar rapidamente derivando esta expressão e conferindo que o resultado é \ln\left(x^{2}+1\right), o que confirma que temos uma primitiva correta.

Resposta

x\ln\left(x^{2}+1\right) - 2x + 2\arctan(x) + C

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