Resolva as integrais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a integral indefinida
Informações dadas: a função integranda é
e queremos uma primitiva (ou seja, a antiderivada) em função de
. Não foi dada condição inicial, então a resposta deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Escolha do método. Aqui é natural usar a técnica de integração por partes porque temos um logaritmo (que costuma simplificar ao derivar) multiplicado por
(ou seja, a forma
com
). A fórmula de integração por partes é
onde
e
são funções de
,
é a derivada de
vez
e
é uma primitiva de
. Vou explicar cada termo quando for aplicar.
Passo 3
Escolhemos as partes assim (escolha padrão: derivar o logaritmo):
Agora calculamos
e
.
Derivando :
Derivando
Integrando
para obter
:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando o integrando na segunda parcela:
logo
Passo 5
Agora simplificamos a fração dentro da integral. Note que
porque
. Assim
Passo 6
Avaliamo as integrais simples:
e lembrando uma primitiva padrão,
pois
. Substituindo na expressão do Passo 4 (podemos juntar constantes depois), obtemos
Passo 7
Expandindo os parênteses e rearranjando termos:
Pode-se verificar rapidamente derivando esta expressão e conferindo que o resultado é
, o que confirma que temos uma primitiva correta.