Resolva as integrais definidas:
\int_{1}^{2} t^{2} \ln (t) d t

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral definida
\int_{1}^{2} t^{2}\ln(t)\,dt.
Informações dadas:
\text{o função integrada é }t^{2}\ln(t)\quad\text{no intervalo }[1,2].çãé
Objetivo: encontrar o valor numérico da integral definida (um número).

Passo 2

Escolha do método: vamos usar integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u e dv são funções escolhidas a partir do integrando. A ideia prática é escolher u como a parte que simplifica quando derivada e dv como a parte fácil de integrar. Aqui é natural escolher
u=\ln(t)\qquad\text{e}\qquad dv=t^{2}\,dt.
Porque \ln(t) fica simples ao derivar e t^{2} é fácil de integrar.

Passo 3

Calcule du e v:
du = \frac{1}{t}\,dt,
v = \int t^{2}\,dt = \frac{t^{3}}{3}.
Agora aplique a fórmula de partes à integral definida:
\int_{1}^{2} t^{2}\ln(t)\,dt = \left.\frac{t^{3}}{3}\ln(t)\right|_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{t^{3}}{3}\cdot\frac{1}{t}\,dt.

Passo 4

Simplifique o segundo integrando:
\frac{t^{3}}{3}\cdot\frac{1}{t}=\frac{t^{2}}{3},
então
\int_{1}^{2} t^{2}\ln(t)\,dt = \left.\frac{t^{3}}{3}\ln(t)\right|_{1}^{2} - \frac{1}{3}\int_{1}^{2} t^{2}\,dt.
Agora calcule a integral simples:
\int t^{2}\,dt = \frac{t^{3}}{3},
portanto
\frac{1}{3}\int_{1}^{2} t^{2}\,dt = \frac{1}{3}\left.\frac{t^{3}}{3}\right|_{1}^{2} = \frac{1}{9}\left(t^{3}\right)\Big|_{1}^{2}.

Passo 5

Avalie os termos nos extremos:
\left.\frac{t^{3}}{3}\ln(t)\right|_{1}^{2} = \frac{8}{3}\ln(2) - \frac{1}{3}\ln(1).
Como \ln(1)=0, isso vira \dfrac{8}{3}\ln(2).
E
\frac{1}{9}\left(t^{3}\right)\Big|_{1}^{2} = \frac{1}{9}(8-1)=\frac{7}{9}.
Portanto
\int_{1}^{2} t^{2}\ln(t)\,dt = \frac{8}{3}\ln(2) - \frac{7}{9}.

Passo 6

Podemos também escrever em denominar comum:
\frac{8}{3}\ln(2) - \frac{7}{9} = \frac{24\ln(2)-7}{9}.
Esse é o valor final da integral.

Resposta

\dfrac{24\ln(2)-7}{9}

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