Resolva as integrais definidas: \int_{1}^{2} t^{2} \ln (t) d t
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule a integral definida
\int_{1}^{2} t^{2}\ln(t)\,dt.
Informações dadas:
\text{o função integrada é }t^{2}\ln(t)\quad\text{no intervalo }[1,2].
Objetivo: encontrar o valor numérico da integral definida (um número).
Passo 2
Escolha do método: vamos usar integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u e dv são funções escolhidas a partir do integrando. A ideia prática é escolher u como a parte que simplifica quando derivada e dv como a parte fácil de integrar. Aqui é natural escolher
u=\ln(t)\qquad\text{e}\qquad dv=t^{2}\,dt.
Porque \ln(t) fica simples ao derivar e t^{2} é fácil de integrar.
Passo 3
Calcule du e v:
du = \frac{1}{t}\,dt,
v = \int t^{2}\,dt = \frac{t^{3}}{3}.
Agora aplique a fórmula de partes à integral definida: